సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/మొదటి సంపుటము/అనువర్తిత గణితశాస్త్రము
అనువర్తిత గణితశాస్త్రము :- గణితశాస్త్రమును రెండు భాగములుగా విభజింపవచ్చును. (1) శుద్ధ గణితము, (2) అనువర్తిత గణితము. శుద్ధ గణితమున ఒక సముదాయములోని రాసులు కొన్ని నిర్ణీత నిబంధనలకు లోబడినచో వానినుండి యుత్పన్నమగు ఫలితములను సాధింతుము, అనువర్తిత గణితమున నట్లుగాక ప్రయోగ సాక్ష్యముచే లభ్యమగు ఫలితములను సాధించుటకు ఏ ప్రకృతిసూత్రము అవసరమో కనుగొందుము.
మొదట శాస్త్ర పద్ధతిని సూర్యచంద్రాదుల చలనమును పరిశీలించినవాడు గెలీలియో (1564–1642) ఈతనికి ముందే కొందరు శాస్త్రజ్ఞులు సూర్యచంద్రాదుల గమనమును కొంతవరకును కనుగొన యత్నించిరి. కోపర్నికస్ (1473-1543) అను శాస్త్రజ్ఞుడు సూర్య కుటుంబమునకు సూర్యుడే కేంద్రమని భావించి ఈ గహన సమస్యను కొంతవరకు తేలిక పరచెను. ఆ తరువాత ఈ చలన సిద్ధాంతమున చెప్పుకొనదగిన యభివృద్ధిని ప్రవేశ పెట్టినవాడు కెప్లెర్ (1571-1630). ఆ తరువాత వచ్చిన గెలీలియో పతన వస్తుచలనముపై గావించిన ప్రయోగములు న్యూటన్ (1642-1727) చలన సూత్రములు ఖగోళ శాస్త్ర వికాసమునకు తగిన దోహద మొసంగుటే గాక చలన శాస్త్రమున కొక నిర్దిష్ట స్థానమును లభింపజేసినవి. దీనినే గెలీలియో న్యూటన్ సిద్ధాంతమని యందురు. ఈ సిద్ధాంతమున ముఖ్య విషయములు రెండు. (1) యూక్లిడ్ యొక్క రేఖాగణిత ధర్మములు స్థలమున కున్నవి. (2) ప్రతి వస్తువునకును ద్రవ్యరాశి ఉన్నది. ఈ ద్రవ్యరాశి దాని జడత్వముచే మనకు ద్యోతకమగును అని. తరువాతి రెండువందల సంవత్సరములలో జరిగిన కార్యము సూర్యచంద్రాదుల చలనక్రమమున న్యూటను సూత్రములు సరియైనవని ఋజువు చేయుటయే.ఈ న్యూటను సూత్రములు పరమసత్యములు కావని 1915 వరకును కనుగొనలేకపోయిరి. 1915 లో ఐన్ స్టయిన్త వ సాపేక్ష సిద్ధాంతమును ప్రకటించెను. ఈ సిద్ధాంతముచే సూర్యచంద్రాదుల గమనము అతి సూక్ష్మ పరిశీలనమునకు గురియై న్యూటను సూత్రములు స్థూలముగ సత్యములే యైనను సూక్ష్మపరిశీలన కవి చాలవని తెలిసినది. ఈ విషయము బుధగ్రహకక్షాచలనముచే ఋజువైనది.
19 వ శతాబ్దమున శక్తి వాదమున వికాసము కలిగెను. దానిచే వస్తుచలన శాస్త్రమునకును పదార్థవిజ్ఞాన రసాయన శాస్త్రములకును సన్నిహితసంబంధ మేర్పడుటే కాక వస్తుచలనసిద్ధాంతమునకు వ్యాపకత్వ మేర్పడెను. కాని ఈ వాదము అణుసంఘట్టన (Atomic Structures) కు వర్తింపదని ప్రమాణవాదము (Quantum Theory) ఋజువుచేసెను. ఈ విధముగా 200 ఏండ్ల నుండి చెల్లు బడిలో నున్న ఈ సిద్ధాంతము యొక్క పరిధులను 20 వ శతాబ్దపు మొదటి భాగములోనే నిర్ణయించగలిగిరి.
యంత్రశాస్త్రము : అనువర్తిత గణితశాస్త్రము యొక్క ఈ శాఖ వస్తుచలనమును గురించియు, చలనమును నిబంధించు శక్తులను గురించియు వస్తువును నిశ్చల స్థితిలో నుంచుటకు వలయు శక్తులను గురించియు చర్చించును.
యంత్రశాస్త్ర మను పదమునకు యంత్రములతో సంబంధమున్నట్లు ధ్వనించును. అనువర్తిత యంత్ర శాస్త్రము (Applied Mechanics) అను శీర్షికలో నేడు ఈ క్రింద శాఖలను చేర్చుట పరిపాటి. (1) స్థితిస్థాపక శక్తి వాదము (Theory of Elasticity) (2) ద్రవయంత్ర శాస్త్రము (Hydro-Mechanics) (3) వాయు చలన శాస్త్రము (Aero-Dynamics) (4) యంత్ర పద్ధతులు (Mechanisms) (5) ప్రాక్షేపకశాస్త్రము (Ballistics) పై శాఖ లన్నిటికిని సన్నిహిత సంబంధముగల యంత్ర శాస్త్ర సిద్ధాంతమును (Theoritical Mechanics) రెండు భాగములుగా విభజింపవచ్చును. (1)వస్తుచలన శాస్త్రము (Dynamics) (2) వస్తుస్థితిశాస్త్రము (Statics). వస్తుచలన శాస్త్రమును మరల రెండు భాగములుగా విభజింపవచ్చును. (1) చలన రేఖాగణితశాస్త్రము (Kinematics) (2) చలన నియమ శాస్త్రము (Kinetics).
చలనరేఖా గణితశాస్త్రము : దీనికి సంబంధించిన పదము లీ క్రింద నిర్వచింపబడినవి.
1. స్థానాంతరము (Displacement) : ఒక వస్తువు తన స్థానమును A నుండి B కి మార్చుకొనిన A, B ల మధ్య దూరమును ఆ వస్తువు యొక్క స్థానాంతర మందుము.
2. వేగము (Velocity): ఒక వస్తువు యొక్క స్థానాంతరవృద్ధి క్రమము (Rate of Change of Displacement) ను వేగమందుము.
3. త్వరణము (Acceleration): ఒక వస్తువు యొక్క వేగవృద్ధి క్రమము (Rate of Change of Velocity) ను త్వరణమందుము.
చలన నియమశాస్త్రము : ఇది ఈ క్రింద నుదాహరింప బడిన సూత్రములపై నాధారపడి యుండును.
(1) ఒక వస్తువుపై బలప్రయోగ మేమియును జరుగని పక్షమున నది యెల్లప్పుడు స్థాయిగ ఒకచోటనే ఉండును. లేదా ఒక ఋజు రేఖపై సమాన వేగముతో చలించుచుండును.
(2) ఒక వస్తువుపై ప్రయోగింపబడు బలము దాని త్వరణముతో సమాన నిష్ప త్తిగలిగి త్వరణదిశలో పని చేయును. (3) క్రియయు, ప్రతిక్రియయు (Action and Reaction) ఒక దానికొకటి సమానములై వ్యతిరేకదిశలలో పనిచేయును.
న్యూటను గురుత్వాకర్షణ సూత్రము: ప్రకృతిలోని ప్రతి రెండువస్తువులును ఒక దానినొకటి ఆకర్షించుకొనును. అట్టి ఆకర్షణక్రమము ఈ క్రింది సూత్రముచే తెలియనగును. ఆకర్షణ=కXబ1Xబ2/దూ2, ఇందు క అనునది ఒకానొక స్థిరరాసి (constant) బ1, బ2 లు వస్తువుల ద్రవ్య రాసులు.దూ అనునది వాటి మధ్యదూరము.
ఒకానొక వస్తువుపై P అను బలము t కాలము ప్రయోగింపబడిన PXt ని ఆ బలము యొక్క ప్రేరణ అందుము. ఈ క్రింది సూత్రమును సులభముగా సాధింపవచ్చును. ప్రేరణ=వస్తువులో ఉత్పన్నమగు ద్రవ్యవేగ భేదము. సూచన: ఒక వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగము (momentum) లేక ఉరవడి = ఆ పదార్థము యొక్క ద్రవ్యరాశి X దాని వేగము.
పైన చెప్పబడిన న్యూటను సూత్రములు ఒకకణము పై బలప్రయోగము జరిగినపుడు ఉద్భవించు ఫలితములను తెలుపును. అట్లుగాక అనేక కణములు ఒక మండలము (system)గా నేర్పడివానిపై వివిధదిశలలో వివిధబలములు ప్రయోగింపబడినపుడు ఎట్టిఫలితములు కలుగునో తెలిసికొనుటకును ఆ న్యూటను సూత్రములే యాధారము. వాని సాయముననే ఈ క్రిందివిషయములు సాధింపబడినవి.
(1) ఒక నిర్దిష్టదిశలో జరుగు మండలము యొక్క సరళద్రవ్యవేగ భేదక్రమము అదే దిశలో పనిచేయు బాహ్యబలముల ఫలితాంశమునకు సమానము.
సూచన : ఈ సూత్రముచే మండలముపై పనిచేయు వా హ్య బ ల ము 'ల ఫలితాంశము ఒకానొక దిశలొ శూన్యమైనపుడు ఆ దిశలో మండల ద్రవ్యవేగము మార్పు చెందక స్థిరముగా నుండును.
ఒక బిందువునకుగాని ఒక అక్షమునకుగాని సాపేక్షముగా జరుగు బలప్రభావము (Moment)= ఆ బలము X అంబదూరము.
(2) ఒక స్థిరబిందువునకుగాని స్థిరాక్షమునకుగాని సాపేక్షముగా జరుగు ద్రవ్యవేగ ప్రభావ భేధక్రమము= అదే బిందువునకుగాని అక్షమునకుగాని సాపేక్షముగా బాహ్యబలముల యొక్క మొత్తము ప్రభావము.
సూచన: బాహ్యబలములు లేనపుడు మండలము యొక్క ద్రవ్యవేగ ప్రభావము మారదు.
పని : శక్తి (Work & Energy) : (1) ఒక కణముపై ప్రయోగింపబడిన బలము × ను, అదే దిశలో కణమునకు జరిగిన స్థానాంతరము S ను అయిన xXs ను ఆ బలము చేసిన పనియందుము.
(2) ½ my2 అని దానిని ఆ బలము యొక్క గతిజశక్తి యందురు. పై సూత్రములో m అనునది కణపు ద్రవ్య రాశి. V అనునది దాని వేగము.
ఈ క్రింది సూత్రమును గణితశాస్త్రముచే అతి సులభముగ సాధింపవచ్చును.
ఒక బలముచే జరుపబడిన పని దాని గతిజశక్తి భేదమునకు సమానము.
ఇంతవరకు మనము గుర్తించిన చలనము కణములకు సంబంధించినది. అట్టి కణములు బిందువులుగను వాని ద్రవ్యరాసులు ఆ బిందువులవద్ద కేంద్రీకరింపబడినట్లును భావించుచున్నాము. కాని అట్టి కణములు మనకు ప్రకృతిలో లభ్యమగునా? మనకు లభ్యమగు వస్తువులు ఏక కణములుగాక అనేకకణ సంఘటితములు. ఈ వస్తువులను కఠిన (Rigid) వస్తువులందుము. వీని ముఖ్య గుణము ఏమనగా వీనియందలి ప్రతిరెండు కణముల మధ్యదూరము ఎప్పటికిని మారదు. ఇట్టివానినే కఠిన వస్తువు లందుము. ఈ వస్తువులందలి అణువుల అంతః ప్రక్రియచే మొత్తము ద్రవ్యవేగమునను గతి బలమునను మార్పు కలుగదు అనుభావము కఠినవస్తు చలన శాస్త్రమునకు మూలాధారము. కఠినవస్తు చలన శాస్త్ర విషయ మంతయు ఈ క్రింది మూడు సూత్రములలో సంక్షిప్త పరుపవచ్చును.
(1) ఒక నిర్దిష్ట దిశలో జరుగు కఠినవస్తువు యొక్క సరళద్రవ్యవేగ భేదక్రమము అదేదిశలో ఆ వస్తువుపై పనిచేయు బాహ్యశక్తుల సముదాయమునకు సమానము.
సూచన : ఈ సూత్రముచే కఠినవస్తువుపై బాహ్యబలము లేమియు ఒకానొక దిశలో పనిచేయనప్పుడు ఆ దిశలో కఠిన వస్తు ద్రవ్యవేగమును మార్పుచెందక స్థిరముగ నుండును, (2) ఒక స్థిరాక్షమునకు సాపేక్షముగా జరుగు కఠిన వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగ ప్రభావ భేదక్రమము అదే అక్షమునకు సాపేక్షముగా (పనిచేయు) బాహ్యబలముల యొక్క మొత్తము ప్రభావమునకు సమానము.
సూచన : బాహ్యబలములు లేనపుడు కఠినవస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగ ప్రభావము మారదు.
(3) ఒక కఠినవస్తువు యొక్క గతిజశక్తి భేదము అదే కాలములో దానిపై పనిచేయు బాహ్యబలముల మొత్తము పనికి సమానము.
పై సూత్రములను సాధించుటకు ముఖ్యముగా ఉపయోగపడునది డి' ఎలాంబర్టు సూత్రము.
డి'ఎలాంబర్టు సూత్రము : న్యూటను చలన సూత్రముచే 'm' ద్రవ్యరాశి గల ఒక అణువు ఏ దిశలోనైనను 'ƒ' అను త్వరణమును కలిగి ఉన్న ఆ దిశలో పనిచేయు బలము X అయిన, X=mƒ. పై సూత్రములో x బాహ్యబలము, mƒ సార్థక బలము అనబడును.
కఠినవస్తువులోని అణువులపై ప్రయోగింపబడిన బలములు రెండువిధములుగా విభజింపబడును. (1) బాహ్య బలము (2) అంతర్బలము. అంతర్బలములు తమలో తాము కఠిన వస్తువు యొక్క కాఠిన్యము నేర్పరచు ననియు; బాహ్య బలములును, వ్యతిరేకదిశలో పనిచేయు సార్థకబలములును, కఠినవస్తువును నిశ్చల స్థితిలో నుంచుననియును; కావున కఠినవస్తువుపై పనిచేయు బాహ్య బలము అదే దిశలో పనిచేయు సార్థక బలమునకు సమము అనియు డి' ఎలాంబర్టు సూత్రము తెలుపును.
లెగ్రాంజ్ సమీకరణములు: ఏదైన ఒక కణము యొక్క స్థలనిర్దేశమును మూడు లంబాక్షములకు సాపేక్షముగా ఇదివరలో మనము నిరూపకము (Coordinates) ల నిర్ణయించి యున్నాము. దీనికై లంబాక్షములు అక్కరలేకయే సాధారణ నిరూపకము (Generalized Co-ordinates) ల సహాయముతో ఒక కణముయొక్క స్థలనిర్దేశమును చేయవచ్చును. ఇట్టి స్థలనిర్దేశముచే 'లెగ్రాంజ్' అను శాస్త్రజ్ఞుడు వస్తుచలన సూత్రములను కనుగొనెను. వానినే లెగ్రాంజ్ సమీకరణము అందుము. వీనిని ఉపయోగించి న్యూటను ప్రతిపాదించిన చలన సమీకరణములను సాధింపవచ్చును.
హామిల్టను సూత్రము : హామిల్టను' అను శాస్త్రజ్ఞుడు ఇంతకంటె ముందునకుపోయి చలించుచున్న మండలము యొక్క గతిజశక్తియు స్థానికశక్తియు తెలిసినచో వానినుండి మండలము యొక్క చలనము నంతయు నిర్ధారణము చేయగల సూత్రము నొకదానిని కనుగొనెను. దీని నుండి లెగ్రాంజ్ సమీకరణములనుకూడ సాధింపవచ్చును.
వస్తుస్థితి శాస్త్రము (Statics) : వస్తుస్థితి శాస్త్రము వస్తు చలనశాస్త్రము యొక్క అంతర్భాగముగా భావింపవచ్చును. ఏలయన చలన శాస్త్రములోని సూత్రములలో కణము యొక్కగాని వస్తువుయొక్కగాని వేగమును త్వరణమును శూన్యముగ భావించినచో వస్తుస్థితిశాస్త్రము నందలి ప్రతి సూత్రమును చలన శాస్త్రమునుండి సాధింపవచ్చును.
ఉదా : న్యూటను రెండవ సూత్రము ప్రకారము ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణముపై ప్రయోగింపబడిన బాహ్యబలము P, త్వరణము ƒ అయిన p=mƒ అగునుకదా ! వస్తువు స్థావరస్థితియం దుండుటకు శూన్యము కావలసి యుండునుగదా ! కావున p=0. అందుచే ఒక వస్తువు పై అనేక బాహ్యబలములు ప్రయోగింపబడి వస్తువు స్థావర స్థితియందుండిన ఏ దిశలో నైనను బాహ్యబలముల ఫలితము శూన్యమగును.
ఇట్లే వస్తువు స్థిరముగా నుండునపుడు దాని కోణ వేగము ఉండదు. కావున ఏదైన నిర్దిష్ట బిందువునకు సాపేక్షముగా బాహ్యబలముల మొత్తము ప్రభావము శూన్యమగును.
ఈ రెండు సూత్రములు వస్తుస్థితి శాస్త్రమునకు పునాదులని చెప్పవచ్చును.