సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/మొదటి సంపుటము/అంక గణితము
విజ్జానం బ్రహ్మేతి వ్యజానాత్
సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము
అంకగణితము — గణితశాస్త్రములలో నెల్ల అంకగణితము మిక్కిలి పురాతనమైనది. పూర్వ మిది సాంఖ్య సిద్ధాంతముగా పరిగణింపబడుచుండెడిది. కాల క్రమమున సాంఖ్యసిద్ధాంత మొక ప్రత్యేకశాఖ యైనందున నేడు అంకగణితము, గణనక్రియకు, దాని అను ప్రయోగములకు సంబంధించినదిగా గుర్తించబడుచున్నది.
సంఖ్యాక్రమ విధానము: ప్రాచీనజాతుల వారందరును మొట్టమొదట వేళ్ళలోనే లెక్కపెట్టెడివారు. సంఖ్యలను మాటలవలన తెలిపెడివారు. అంకములకు, సంఖ్యలకు ప్రత్యేక గుర్తులు లేకుండ పదములలోనే వ్రాయుచుండినచో, గణితశాస్త్రమే సంకుచితమై యుండెడిది. కనుకనే అంకములకు చిహ్నముల నేర్పరచు ఆవశ్యకము గల్గినది. చరిత్రకు తెలిసినంత వరకు సంఖ్యలను వ్రాయుటలో "ఫినీషియను" పద్ధతి మిక్కిలి పురాతనమయినది. వారు తొమ్మిదివరకు అంకెలను నిలువు గీతలచే తెలిపెడివారు. మన మిప్పటికిని కొన్ని నిర్దిష్ట కార్యములకై వాడు రోమను సంఖ్యలు, రోమనులు సంఖ్యాక్రమ నిరూపణమున గ్రీకులమార్గము నవలంబింపక వేరొక త్రోవ త్రొక్కిరి అని తెలుపును. రోమనుల సంఖ్యా సంకేతము లివి :
- I, II, III IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, L, C, D, M.
- 1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 8, 9, 10, 50, 100, 500, 1000.
హిందువుల సంఖ్యాస్వరూపము (System of Notation) తదితర జాతులవారి దానికంటే భిన్నము. అంకగణితమున హిందువులు అత్యంతపురాతన కాలముననే మిక్కిలి పరిశ్రమ చేసిరి. క్రీ. శ. 12 వ శతాబ్దినాటికే హిందువులు నవీన అంకగణితసారము నంతయు గ్రహించిరి. సంఖ్యావళియందు స్థాన భేదమును, సంఖ్యలేనిచోట సున్న పెట్టుటయు, సంఖ్యాతత్వ నిరూపణమునందు ధన, ఋణ సంఖ్యాభేదములును, కరణి, వికరణ్యంక (Irrational and rational quantities) వివక్షయు, మొట్టమొదట కనుగొన్నవారు హిందువులే. 11 వ శతాబ్ది ఆరంభమున అల్బెరూని యను మహమ్మదీయ చరిత్రకారుడు హిందువుల సంఖ్యావిధానమును గురించి వ్రాయుచు, హిందూ దేశమున సంఖ్యావళిలో 9 అంకెలును, ఒక సున్నయు నుండి, స్థానమునుబట్టి యేదేని యొక సంఖ్య యొక్క మొత్తము పది రెట్లు హెచ్చుట గాని, తగ్గుటగాని కలదని వ్రాసియుండెను. మన దేశమున క్రీ. శ. 876లో సున్న వాడుకలో నున్నట్లు నిదర్శనములు గలవు. సంఖ్యాక్రమమున మనము వాడు అంకెలను గురించి, క్రీ. శ. 662 లోనే సిరియా దేశస్థుడగు సెవేరస్ సె బోల్తు అను నతడు ఇతర దేశములకు వెల్లడిచేసి యుండుట గమనింపదగినది.
సంఖ్యావళియందున్న అంకెలకు రెండర్థములుగలవు. మొదటిది అంకెల యొక్క గుర్తునుబట్టి కలుగుచున్నది.అనగా "4" అను సంకేతమునకు, "నాలుగు” అను అర్థము గుర్తువలన దెలియుట. ఇయ్యది సాంకేతికార్థము. ఇక రెండవ అర్ధము, ఈ యంకెలకే, స్థానభేదమువలన గలుగుచున్నది.
ఉదా : '5' గుర్తునకు ఐదని సాంకేతికార్థము. కాని '52' అను అంకములో, 'ఐదు' నకు స్థానమును బట్టి యేబది యను అర్థము కలుగుచున్నది. ఇట్లొక్కొక్క స్థానము హెచ్చిన కొలది, అంకెయొక్క విలువ పది రెట్లు చొప్పున హెచ్చుచుండును. మన సంఖ్యాక్రమమునందు ఇట్టి స్థానములు 36 ఉండుటవలన పూర్వు లెంత పెద్ద సంఖ్యల నూహించి యుండిరో తెలియనగును. ఈ ముప్పది యారు స్థాన భేదములు దిగువ వివరింపబడినవి :
1. ఏకము, 2. దళము, 3. శతము, 4. సహస్రము, 5. అయుతము (దళసహస్రము), 6. లక్ష, 7. దశలక్ష, 8. కోటి, 9. దశకోటి, 10 శతకోటి, 11. అర్బుదము, 12. న్యర్బుదము, 18. ఖర్వము, 14. మహా ఖర్వము, 15. పద్మము, 16. మహాపద్మము, 17. క్షోణి, 18. మహాక్షొణి, 19. శంఖము, 20. మహాశంఖము, 21. క్షితి, 22. మహాక్షితి, 28 క్షోభము, 24. మహా క్షోభము, 25. నిధి, 26. మహానిధి, 27. పర్వతము, 28. అత్యంతము, 29. పదార్థము, 30. అనంతము, 31. సాగరము, 32. అవ్యయము, 33. అచింత్యము, 34. అమేయము, 35. భూరి, 36, మహాభూరి.
ఉదా : మహాభూరి సంఖ్యయందు ఒకటి అను అంకె వెనుక (35) ముప్పదియైదు సున్నలుండును.
లలితవిస్తరమను బౌద్ధ గ్రంథమునందు శతకోటి మొదలుకొని, నూరు నూరు రెట్లధికముగ ఈ క్రింది సంఖ్యలు చెప్పబడినవి :
శతకోటి, అయుతము, వియుతము, కంకరము, వివరము, అక్షోభ్యము, వివాహము, ఉత్సంగము, బహుళము, నాగబలము, తటలంబము, వ్యవస్థాన ప్రజ్ఞప్తి, హేతుహిల, కరహు, హేతింద్రియము, సమాప్త లంబము, గణనాగతి, నిరవత్యము, ముద్రాబలము, సర్వబలము, విసంజ్ఞ గతి, సర్వసంజ్ఞ, విభూతంగమ, తల్లక్షణ, ధ్వజాగ్రవతి, ధ్వజాగ్రనిషామణి, వాహన ప్రజ్ఞప్తి, కురుత, సర్వనిక్షేపము, అగ్రసారము, పరమాణువు, రజఃప్రవేశానుగతము.
కల్పనాతీతమగు అంకెలకు పేర్లు పెట్టిన వారి గణిత జ్ఞానము మన మించుక యూహించవలసి యుండును.
పురాతన బౌద్ధ గ్రంథములయం దింతకంటే నెక్కుడు సంఖ్యలు గూడ చెప్పబడినవి. ఇట్టి సంఖ్యలను లెక్కించు టకు 'కోటి' యను సంఖ్యను మూలము (Radix) గా తీసికొనవలయును. కో, కో62, కో64, కో68, కొ62(128) . అన్న సంఖ్యలకు వేరువేరు పేర్లు పెట్టబడినవి. కో62(128) అను సంఖ్య కల్పనాతీతము. ఇది వ్రాయుటకు ఒకటి అను అంకె వెనుక ఎన్ని సున్నలు పెట్ట వలయుని చెప్పుటకు గావలసిన సంఖ్యలోనే 40 సున్న లుండ వలయును.
అర్జునుడను గణితశాస్త్రజ్ఞుడు గౌతమ బుద్ధుని పరీక్షించెననియు, అప్పుడాతడీ పైన జెప్పిన పేర్లు చెప్పెననియు లలిత విస్తర గ్రంథమునం దున్నది. అనగా ప్రాచీన కాలమునందే మన పూర్వులు లెక్క పెట్టుట యందు అసమాన ప్రావీణ్యము గలవారని స్పష్టమచున్నది. అంతేగాక మన సంఖ్యాపద్ధతియే, నాగరిక ప్రపంచమునం దంతటను వ్యాపించి, గణిత శాస్త్రాభి వృద్ధికి కారణమైనది. ఇట్టి అసమాన ప్రతిభా విశేషము, వెలిబుచ్చు సంఖ్యాక్రమ విధానమును గనిపెట్టిన గౌరవము మన పూర్వులకే దక్కినది.
పూర్ణ సంఖ్యలు: సంఖ్యలు రెండు భాగములుగా విభజింప బడినవి.
- 1. గణన సంఖ్యలు (Cardinal numbers).
- 2. క్రమసూచక సంఖ్యలు (Ordinal numbers).
ఒక సముదాయమును (class) లెక్కపెట్టగా వచ్చిన ఫలితమును తెలుపుటకు ఉపయోగింపబడు సంఖ్యను 'గణనసంఖ్య' యందుము.
ఉదా : ధృతరాష్ట్రునకు 'నూర్గురు' పుత్రులు. ఇచట 'నూర్గురు' గణన సంఖ్య.
అనుక్రమము (Sequence) లోని స్థానమును దెలుపు సంఖ్యను 'క్రమసూచక సంఖ్య' యందురు.
ఉదా : సహదేవుడు పాండవులలో 'ఐదవ' వీరుడు. ఇచట 'ఐదవ' క్రమసూచక సంఖ్య.
పూర్ణసంఖ్యలయందు, అవిభాజ్య సంఖ్యలు (Principal Numbers) అనియు, విభాజ్యసంఖ్యలు (Composite Numbers) అనియు మరొక విభజనము గలదు. ఈ భేదవ సాంఖ్య సిద్ధాంతమున చూడనగును.
సంఖ్యలను, ధనాంకము (Positive Numbers) అనియు, ఋణాంకము (Negative Numbers) లనియ మరి రెండు విధములుగా భాగింప నగును. సంఖ్యలలో మొట్టమొదట ఈ భేదమును గని పెట్టినవారు హిందువులే.
భిన్నములు (Fractions) : భిన్నములను గురించి ప్రాచీనుల భావనలు, వాటిని వ్రాయుటకై ఏర్పరచిన సంకేతములు ములు, వాని ప్రయోగ విధానములు (Operations) అంక గణితమున తెలియనగును.
అన్నిటికంటే పురాతనమైన భిన్నాంకములు ఈజిప్టు దేశీయులవి. మన ప్రాచీనులు భిన్నాంక విధానము బక్షాలి పురమున దొరకిన తాళ పత్రములవలన దెలియగలదు. ఇవి క్రీ. శ. 3, 4 శతాబ్దముల నాటివి అని నిర్ణయింపబడినది. ఇందు భిన్నాంకములను వ్రాయునపుడు లవమునకును, హాగమునకును మధ్యగీటు వదలి వేయబడియున్నది.
సాధారణ భిన్నములను (Common Fractions) మూడు భాగములుగ విభజించిరి.
1. లవముకంటె హారము హెచ్చుగనున్న భిన్నాంకములు సవ్యభిన్నములు (Proper Fractions).
2. లవముకంటె హారము తక్కువగలవి అపసవ్య భిన్నములు (Improper Fractions).
3. పూర్ణాంకములతో గలసియున్న భిన్నములు మిశ్ర భిన్నములు (Mixed Fractions).
సాధారణ భిన్నములుగాక మరి రెండు భాగములుగా భిన్నములు విభజింపబడినవి.
1. షష్ట్యంక గుణిత భిన్నములు (Sexagesimal Fractions).
2. దశాంశ భిన్నములు (Decimal Fractions).
పదునారవ శతాబ్ది ప్రాంతమున దశాంశ భిన్నములు వాడుకలోనికి వచ్చినట్లు గన్పట్టుచున్నది. వీని రాక వలన భిన్నములపై క్రియలప్రయోగము సులభ సాధ్యమైనది.
అంక గణిత వ్యవహారములు (Arithmetical Operations) : మన ప్రాచీనులు అంకగణిత వ్యవహారములను క్రింద వ్రాసిన 8 భాగములుగా విభజించిరి.
(1) సంకలనము (Addition), (2) వ్యవకలనము(Subtraction), (8) గుణకారము (Multiplication), (4) భాగహారము (Division), (5) వర్గము (Squaring), (8) వర్గమూలము (Square root), (7) ఘనము (Cube), (8) ఘనమూలము (Cube root). వీనికి 'పరికర్మాష్టకము' అని పేరు.
భాస్కరాచార్యుని కాలము నాటికి పై క్రియలు నాలుగైనవి. అవి సంకలన, వ్యవకలన, గుణకార, భాగహారములు. క్రియలన్నిటికి మూలాధారము సంకలన, వ్యవకలనములే అనియు, తక్కిన క్రియలు వీటి రూపాంతరము లనియు ఆయనయే స్పష్టపరచినాడు. అనగా అంక గణితమున క్రియలు రెండే.
భాస్కరుని తరువాత సంకలనక్రియ గమనింపదగిన మార్పులను పొందలేదు. బహుశః నాటి హిందువులుగాని, రోమనులుగాని ప్రస్తుత శతాబ్దములయందు ఉండి రేని, పెక్కు మార్పులను జేసియుండెడి వారేమో !
వ్యవకలన క్రియమాత్రము అనేక ప్రయోగములకు గురియైనది. 423 నుండి 46 ను తీసి వేయవలయుననిన 423 ను 300+100+23 గా మార్చి, తరువాత వ్యవకలన క్రియను ఉపయోగించుట పూర్వుల సులభ మార్గము. మరికొన్ని యుక్తులు హిందువుల అంకెల రాక వలన ప్రసిద్ధికి వచ్చినవి. మన దేశమున 12 వ శతాబ్దమున వెలసిన, కోటిపూరక పద్ధతి వానిలో నొకటి. ఇది క్రింది సర్వసమాన సమీకరణముపై ఆధారపడి యున్నది.
- a-b=a+(10-b)-10
ఉదా: 12-7=12+(10-7)-10=12+3-10-5. - అంకె 7 కు కోటి పూరక సంఖ్య (Complement number)=10-7 అనుట స్పష్టము. నేటి లెక్కలు చేయు యంత్రము (Calculating machine) నందు ఈ కోటి పూరక పద్ధతి అర్హమగు ఉపయోగమును బొందినది. ఇందులో కోటి పూరక సంఖ్యను కలిపి, వ్యవకలనమును సాధింతురు.
గుణకారమును సాధించుటలో పెక్కు మార్గములు గలవు. మన ప్రాచీన గణిత శాస్త్రజ్ఞులు గుణకారమును అనేక విధములుగా చేసినట్లు కలిపించుచున్నది. భాస్కరుని 'లీలావతీ గణితము’ నందు గుణకారమునకు 'ఆరు' మార్గములు చెప్పబడినవి. వాటిలో (1) ఖండగుణన విధాన పద్ధతి, (2) విలోమ విధానపద్ధతి ఉదాహరింప బడుచున్నవి:-
(1) ఖండగుణన పద్ధతీ' :- 625x15 15 గుణకమును ఇష్టభాగములు చేయుము. అవి 7, 8 అనుకొనుము,
తరువాత
- 625x 7 = 4,375
- 625x 8 = 5,000
- —————
- 625x15 = 9,375 లబ్ధము.
- —————
(2) విలోమ విధానము:- ఇందు పై లెక్కనే మూడు విధములుగా చూపవచ్చును.
ఇట్టి లబ్ధమునందలి తప్పొప్పులను కనుగొనుటకు ఒక సూత్రము చాలకాలము క్రిందనే మన పూర్వులు ఉపయోగించెడి వారు. నేటి గణితశాస్త్రజ్ఞులును దానినే వాడుచున్నారు. అది ఎట్లన :
గుణ్యమునందును గుణకమునందును గల అంకెల మొత్తములను, 9 చే భాగించగా లభించు శేషముల లబ్ధమునుగూడ 9 చే భాగించిన వచ్చు శేషమును, గుణ్య గుణకముల లబ్ధములోగల అంకెల మొత్తమును 9 చే భాగించగావచ్చు శేషమును, సమానములైనచో లభించిన లబ్ధము ఒప్పు.
- ఉదా: 625x15=9375
- 6+2+5 ను 9 చే భాగించిన మిగులు శేషము =4
- 1+5 ను 9 చే భాగించిన మిగులు శేషము =6
- 6x4 ను 9 చే భాగించిన మిగులు శేషము =6
- మరియు, 9+3+7+5 భాగించిన మిగులు శేషము =6
రెండు సమానములు. కావున వచ్చిన లబ్ధము ఒప్పు.
వేసియోలి (Pacioli) క్రీ. శ. 1494) అను గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు గుణకారమున ఎనిమిది మార్గములు చూపెనట.
వ్యవకలనమును పెక్కుసారులు ఉపయోగించుటచే భాగహారమును సాధించుట మన పుర్వీకులనుండి సంక్రమించిన పద్ధతి. సగము చేయుట (Mediation),రెట్టించుట (Duplication) మనకు పూర్వీకులనుండి లభించిన పద్ధతులే.
ఏదైన ఒక రాశిని సున్నచే భాగించినపుడు లబ్ధము అనంతమగు నని భాస్కరుడు స్పష్టముగ వచించియుండుట మనము గమనింపదగిన విషయము. పాశ్చాత్య సిద్ధాంతముల ప్రకారము, బీజగణిత వ్యవహారములను బట్టియే అనగా సమీకరణములతోనే చేయదగిన లెక్కలు, కొన్ని అంకగణిత సూత్రముల సహాయముచేత మాత్రమే, భాస్కరాచార్యుని లీలావతీ గణితమున, చేయబడి యుండుట, అంకగణితమున మన పూర్వులకుగల ప్రజ్ఞను తెలుపును.
నిత్యకృత్యములయందు అంకగణితమువలె ఉపయోగపడు శాస్త్రము వేరొక్కటిలేదు. లోక వ్యవహారమునకు ప్రతి మానవునకును కొంచెమో, గొప్పయో అంకగణిత జ్ఞాన మవసరము. వడ్డీ లెక్కలు, హుండీల మారకము, వినిమయము (Exchange), ఉమ్మడి వ్యాపారము, లాభనష్టములు - ఇవి నిత్యవ్యవహారములందు ఉపయోగించు లెక్కలు కేవలము కేవలము శాస్త్రజ్ఞానమును బట్టియేగాక యుక్తి చేతను, ప్రపంచజ్ఞానము మొదలగు వాటి వలన చేయదగిన లెక్కలు గూడ గలవు. ఇట్టి యుక్తి లెక్కల నిచ్చి చేయు మనుట ప్రాచీనులనుండి వచ్చిన యలవాటు.
లెక్కలు చేయు యంత్రములు: మానవుని బుద్ధిబలము వలన చేయవలసిన అంకగణిత క్రియల నన్నిటిని లెక్కలు చేయుయంత్రము సులభముగా చేయును. ఇచ్చిన అంకెలను దశకోట్ల స్థానము వరకును కూడి పెట్టును. వ్యవకలనము, గుణకారము, భాగహారము, వర్గమూలము మొదలగు క్రియ లన్నిటిని మానవుడు చేయగల కాలముకంటే తక్కువ కాలములో చేసియిచ్చును. ఈ యంత్రములవల్ల మానవునికి మానసిక పరిశ్రమ తగ్గినదనియే చెప్పవచ్చును.
వం. ల.