సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/మొదటి సంపుటము/అంకములు
అంకములు - ఉన్నతమగు అంకగణితమునే అంక శాస్త్రమని నవీనులు నిర్వచింతురు. పూర్ణసంఖ్యల సంబంధ బాంధవ్య శోధనమే అంకశాస్త్ర మనికూడ నిర్వచింప వచ్చును. పూర్ణసంఖ్యలు ధన, ఋణ సంఖ్యలుగ వచ్చును. "అంకశాస్త్రమున అతి సుందర సత్యములు కలవు. అవి విడివిడిగా నుండునవిగాక ఒక దానికొకటి సన్నిహితములు” అని గౌను అను పాశ్చాత్య గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు చెప్పిన మాటలు సత్యము.
అంకశాస్త్రమును గూర్చి తెలిసికొనుటకు పూర్వము సంఖ్యను గురించి చర్చించుట అవసరము. సాధారణముగా 'సంఖ్య' అను పదము పూర్ణ సంఖ్యలకును, భిన్నములకును, కరణీయాంకములకును (Irrational numbers) వాడబడు చున్నది. అయినను, సంఖ్యా నిర్వచనము నిగూఢము. సంఖ్యను నిర్వచించుటకు పూర్వము సముదాయమును (Class) నిర్వచింప వలయును. కాంటర్ శాస్త్రజ్ఞుని ప్రకారము 'మన సహజ జ్ఞానముచే నిర్దుష్టముగా ప్రత్యేక పరచబడి ఒకే సమూహమున చేర్చబడిన గుంపునకు సముదాయమని పేరు'. బెర్ట్రాండు రసెలు యొక్క సంఖ్యా నిర్వచనము ఈ విధముగ నున్నది. 'ఒక సముదాయము యొక్క సంఖ్య, ఆ సముదాయమునకు అనురూపమగు అన్ని సముదాయముల సముదాయము.” ఈనిర్వచనమును వ్యాఖ్యానించుట కష్టము. దీని భావమును ఎవరికివారే గ్రహింప యత్నించుట ఉచితము.
అంకశాస్త్రమున సంఖ్యను పూర్ణ సంఖ్య అను అర్థములో వాడుదురు. పూర్ణ సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్య లనియు (Prime numbers), మిశ్రమ సంఖ్యలనియు (Composite numbers) రెండు విధములుగా భాగింపనగును. ప్రతి సంఖ్యకు 'ఒకటి' అను సంఖ్య కారణాంక మగును. అందుచే 'ఒకటి' అను సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యగా నెంతురు. ఇదిగాక, ప్రతి సంఖ్యయు తనకు తాను కారణాంక మగును. ఈ రెండును గాక, ఇతర కారణాంకము లేని సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్య అందురు. రెండు సంఖ్యల 'గరిష్ఠ సామాన్య భాజకము' (G. C. F. ) ఒకటి అయినచో ఆ సంఖ్యలు ఒకదాని కొకటి ప్రధానములని అందుము.
ఫర్మా సిద్ధాంతము (Fermar : 1601–1665): 'P ప్రధాన సంఖ్యయై, N మరియు P ఒకదానికొకటి ప్రధాన సంఖ్య లైనచో (Np-11) ను P నిశ్శేషముగా భాగించును'. ఈ సిద్ధాంత ఫలితమును సర్వసమత్వమున (Congruence) ఈ క్రింది విధమున వ్రాయవచ్చును.
- Np-1_1=0 (mod P).
ఇపుడు సర్వ సమత్వములను గూర్చి కొంత వివరింపబడును. a=b (mod c) అనగా, a అను సంఖ్యను, b అను సంఖ్యను, C అను సంఖ్యచే భాగించిన వచ్చు శేషములు సమములని అర్థము.
ఫర్మాసిద్ధాంతమునకు ఉదాహరణము: 5 ప్రధానసంఖ్య గావున 5, 3 ఒక దాని కొకటి ప్రధానములు గాబట్టి,
- 35-1 - 1= 80=0(mod 5).
- ఇట్లే 53-1-1=24=0(mod 3).
ఫర్మాసిద్ధాంతసాధారణీకరణమును (Generalisation) ఆయిలరు (1707 – 1783) 1760 లో ఈ క్రింది విధముగా ప్రకటించెను:-
"m, n అను రెండు సంఖ్యలు ఒక దాని కొకటి ప్రధానములైనచో
- n
ఇచట (m) అనగా m కంటే చిన్నవియు, కు ప్రధానములును అగు ధనాంకముల సంఖ్యయని తెలియ నగును. P ప్రధాన సంఖ్యయైన 9(P)=P-1 అగును.
ఉదా : m= 12 అయిన ఆ (M) = 4. ఎందుకన 1,5,7,11 మాత్రమే పై ధర్మమును కలిగియున్నవి. అనగా 12 కంటె చిన్నవియు, 12 కు ప్రధానములును అగు అంక ములు నాలుగు మాత్రమే. కావున, 50(12) -1=5'-1
- 624. ఇది 12 చే నిశ్శేషముగా విభాజ్యమనుట
స్పష్టము.
విల్స (Wilson 1741-1798) సిద్ధాంతము అంక శాస్త్రమున మరొక ముఖ్యమగు సిద్ధాంతము. దానిని ఈ క్రింది విధమున వివరించవచ్చును:- అంకములు “P ప్రధానసంఖ్యయైన 1+1x2x3x... X(P-1)=0(mod P) .” ఈ సిద్ధాంతము యొక్క విలోమము(Converse) గూడ నిజమని రుజువు చేయబడినది. అనగా ప్రధానసంఖ్యలను కనుగొనుటకు ఈ విలోమసిద్ధాంత మొకమార్గము. దీని నిట్లు నిర్వచింపగలము :
"ఒక వేళ 1+1x2x3x... X (P - 1) = 0(mod P) అయినచో P అనునది ప్రధానసంఖ్య కావలయును.”
ఉదా : n=7 అయిన 1+1x2x3x4x5X6=1+720=721. దీనిని 7 నిశ్శేషముగా భాగించును. కారణము 7 ప్రధానసంఖ్య యగుటయే. ఇట్లే 6 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. కావున
- 1+1x2x3x4x5=121. ఇది 6 చే భాగింపబడదు.
చిన్నచిన్న సంఖ్యలను పరీక్షించుట కేగాని పెద్ద సంఖ్యకు ఈ సిద్ధాంతము అనువైనది కాదు. ఎందుకన, పెద్ద సంఖ్యల వితతలబ్ధము (Factorial) లను కనుగొనుటలో చాల శ్రమయగును.
ఇంతవరకు మనకు తెలిసిన ప్రధాన సంఖ్యలను గురించి కొంత తెలిసికొనుట అవసరము, అవి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...101...257 ..65,587...1950 సంవత్సరము వరకు మనకు తెలిసిన పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య క్రింద వ్రాయబడినది. 170, 141, 183, 460, 469, 231, 731, 687, 303, 715, 884, 105, 727.
ప్రధానసంఖ్య లెన్ని గలవు? వీటిసంఖ్య పరిమితమా? అనంతమా ? ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య అనంతమని తేలికగా రుజువుచేయగలము.
ప్రధాన సంఖ్యలను గురించి డిరిష్ లె (Dirichlet 1805-1859) వివరించిన సూత్రము మరొకటి ఇట్లు ఉన్నది:-
“a, b లు ఒక దానికొకటి ప్రధానములైనచో an+b, n= 0, 1, 2,...లో అనంతముగా ప్రధాన సంఖ్యలు గలవు.”'
n చాల పెద్ద సంఖ్య యైనపుడు, దానికంటే చిన్నవి అగు ప్రధానాంకముల సంఖ్య రమారమి 10 g= అగునని హడమార్డ్ (Hadamard), డిల వెల్లపొస్సిన్ (Dela Vella Poussin) అను గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కనుగొనిరి.
వర్గావశిష్ట, వర్గావశిష్టేతరములు (Quadratic residues and Quadratic non-residues): ఏదైన సహజ సంఖ్య యొక్క వర్గమును ఒక ప్రధానాంకముచే భాగించగా మిగులు శేషమును ఆ ప్రధానాంకము యొక్క వర్గావశిష్టమందురు. వర్గావశిష్టములు కాని అంకెలను వర్గావSi ష్టేతరములందురు.
12, 22, 32 లను 7 చే భాగించగా వచ్చు శేషములు వరుసగా 1, 4, 2. అట్లే 42, 52, 62 లను 7 చే భాగించినను వచ్చు శేషములు 2, 4, 1 మాత్రమే యని గమనించుట సులభము. ఇదే విధముగా 82, 92, 102... లను 7 చే భాగించినను వచ్చు శేషము 1, 4, 2 అంకెలు మాత్రమే. (సున్నను శేషముగా పరిగణించము) అనగా, సహజ సంఖ్యల వర్గములను 7 చే విభజించగా మిగులు శేష మెప్పటికిని 1, 2, 4 అంకెలలో నొకటి మాత్రమే యగును. 1, 2, 4 అంకెలను 7 యొక్క వర్గావశిష్టము లనియు, మిగిలిన 3, 5,6 అంకెలను 7 యొక్క వర్గావశి ష్టేతరము లనియు పేర్కొందురు.
వర్గావశిష్ట, వర్గావశిష్టేతర లబ్ధ ధర్మములు :
1. రెండు వర్గావశిష్టముల లబ్ధము వర్గావశీష్ట మగును. 2. వర్గావశిష్టేతరములలబ్ధము వర్గావశిష్ట మేయగును. 8. వర్గావశిష్ట, వర్గావశిష్టేతరములు లబ్ధము వర్గావశిష్టేతరమగును.
ఇంతవరకు వివరించిన ఉదాహరణము యొక్క సాధారణీకరణమును ఇట్లు వివరింపవచ్చును:-
"m, n అను అంకెలు ఒకదాని కొక్కటి ప్రధానములై, x2=r (mod n) సర్వసమత్వము సరియగునట్లు x విలువను పూర్ణసంఖ్యలలో సాధించగలిగిన, r అను అంకె m అను అంకెయొక్క వర్గావశిష్టమనియు, అటుల సాధింపజాలకున్న r అను అంకె, m యొక్క వర్గావశిష్టేతరమనియు అందురు.”
పై సర్వసమత్వమును సాధించగలుగుటకు ఆవశ్యకము, సమర్థము ఐననిబంధన (Necessary and sufficient) condition నది. ఇందులో 9(m) గురుతు మనకు తెలిసినదే. 4 అను అంకె 9 (m), 2 ల యొక్క గరిష్ఠ సామాన్యభాజక ము, =1(modm) అని రుజువుచేయబడి ధన - పై అంకె 2, బేసి ప్రధానసంఖ్యయైన, వలయు నిబం m-1 =1(mod m) గా మారును. ఎందుకన o (m) = m - 1 అని మనము ముందే గమనించితిమి. ఇచట d=2. కారణము (m – 1), 2 అంకెల గ. సా.భా. = 2, లెజండర్ సంకేతము (Legendre's Symbol) P అను సంఖ్య 2 కంటె భిన్నమైన ప్రధానసంఖ్యయై, P,S అను అంకెలు ఒక దానికొకటి ప్రధానములైన, లెజండర్ సం కేతము (P) నీ క్రిందివిధమున వివరించనగును:- S అను అంకె P యొక్క వర్గావశిష్టమైన (ఎ)=1. S అను అంకె P యొక్క వర్గావశిష్టేతరమయిన ( } } }) = -1. మనము పైన వ్యాఖ్యానించిన ఉదాహరణమును 7 యొక్క వర్గావశిష్ట (అనగా 1, 2, 4 అంకెలు ములు; 8, 5, 8 అంకెలు 7 యొక్క వర్గావశి ష్టేతర ములు అనుటను) లెజండర్ సంకేతముద్వారా ఈ క్రింది విధమున వ్రాయవచ్చును:- (†)=(4)=(4) = +1 (4)=(4)=(4)= −1 సాధారణముగా నుపయోగించు ముఖ్యసూత్రములు: (1) (i) - (?) (;) (2) (→) -(-1) (+) (3) ( ³½³) = (-1) పై మూడు సూత్రములలో బేసి ప్రధాన సంఖ్య. P 2 తప్ప తక్కిన ప్రధానాంకము అన్నియు బేసి సంఖ్యలే యగుట గమనింప నగును.) 4. వర్గ పారస్పర్య సిద్ధాంతము (Quadratic Recipro- city Law): “q, P” లు బేసి ప్రధాన సంఖ్యలైనచో (G) (4) (;) (;)-(-1) పై సూత్రములను ఉపయోగించి ఏదయిన ఒక సంఖ్య P అను బేసి ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గావశిష్టమో, 7 అంకములు వర్గావశి ష్టేతరమో సులభముగా కనుగొనవచ్చును. ఒక ఉదాహరణముతో అట్టి పద్ధతిని విశదీకరింతము. ఉదా : 51 అను సంఖ్య 78 అను ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గావశిష్టమా? వర్గావశిష్టేతరమా ? లెజండర్ సంకేతమున (93) అని వ్రాసి విలువ కను గొందము. (73 - 22) - 22 (mod 73) కావున (*) = (73) (½½³)=(71) Diz (33) = (i) (is) (4) అని 1 వ సూత్రము సహాయ మున వ్రాయగలము. కుడివైపున గల మూడు లెజండర్ సంకేతముల విలువలు వేరువేరుగా కనుగొందము: 73-1 (a) (771}) = = (- 1) ' = +1 ఇచట రెండవసూత్రము నుపయోగించితిమి. 732-1 (b) (+)=(-1) =+1 సూత్రము ఉపయోగింప బడినది. 73-11-1 (c) (+3) (13) =(-1) ఇ చట మూడవ = +1. వర్గ పరస్పర సిద్ధాంతము చూడవలెను. కావున (is)=(19) =(fr) మరియు (11) = (11) మరొకమారు వర్గపారస్పర్య సిద్ధాంతమును ఉపయోగించితిమి. (1)= (;1)= — (?)(?)= -1 · కాబట్టి (3) =(+1) (+1)(-1)=-1 అనగా ( 22 ) లేక 51, 78 ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గావళి ష్టేతరము, అనగా- x z - 22 (mod 73) ని సాధించలేము. = జాకోబి సంకేతము (Jacobi's symbol) : ఈ సంకే తము లెజండర్ సంకేతముకంటె సాధారణ ధర్మ సంకే తము. దీనినిట్లు వివరించనగును:- “P యేదేని బేసిసంఖ్య యనుకొనుము. P=1 అయిన (x) = (f) = + ) = + 1. ఇచట S, P లు ఒక దానికొకటి ప్రధానములు. P=P;XP XP X ... XP, కావచ్చును. P,Pa... Pr లు ప్రధాన సంఖ్యలు ; ప్రధాన సంఖ్యలు ; P యొక్క ప్రధాన కారణాంకములు. (P)=(e)(e)...(e)”
ఈ సంకేత వివరణము లెజండర్ సంకేతమునకు భిన్నమయినను, ఈ సంకేతమునకుగూడ (1), (2), (3),(4) లే వర్తించును.
బీజసంఖ్యా క్షేత్రము (Algebraic number field) : కొన్ని ధర్మములు గల సంఖ్యాసమూహమును సంఖ్యా క్షేత్ర మందురు. ఇట్టి సంఖ్యా క్షేత్రములోని 46, 41, 4z...4. సంఖ్యలచే ఉx+axnel + anx°= 0 అను బహువద సమీకరణము నేర్పరించినచో, అట్టి సమీకరణము యొక్క మూలమును "ఆ క్షేత్రముపై బీజసంఖ్య" అందురు. ఈ బీజ సంఖ్య ఆ క్షేత్రములోని సంఖ్యలలో నొకటిగా ఉండవలసిన నిర్బంధము లేదు. వికరణ్యంక క్షేత్రము లోని అంకెలతో x2- 2 = 0 అను సమీకరణమును నిర్మించిన, దాని మూలము /2 వికరణ్యంకము కాదుగదా!
దీనికి విలోమముగా అనునది " అను క్షేత్రము పై బీజ సంఖ్య యైనచో, ఆ క్షేత్రము లోని సంఖ్యలతో నిర్మింప బడిన ఒకానొక సమీకరణమునకది మూల మగును అని సులభముగా రుజువు చేయవచ్చును. ఇట్టి బీజ సంఖ్యల సముదాయము కూడ ఒక "క్షేత్రమగును.
క్షేత్ర వ్యాపనము (Extension of a field):F ఒక క్షేత్రమైన, F అంతర్భాగముగాగల మరి యే క్షేత్రమునైనను F యొక్క క్షేత్ర మందుము.
9, PF పై బీజ సంఖ్య యగు K=F(6) ను రెంటిని అంతర్భాగముగాగల సూక్ష్మతను క్షేత్ర నిర్వచింతుము. అట్టిచో 9, Fబీజ సంఖ్య యగుచో, నీ యొక్క ప్రతిమూలమును పై బీజ సంఖ్య యగ బీజ పూర్ణాంకములు (Algebraic integers) సంఖ్య యొక్క సూక్ష్మతమ బహుపద సమీకరణకు వికరణ్యంక గుణకము లుండినచో అట్టి బీజ సం బీజపూర్ణాంక మందురు. బీజపూర్ణాంక సమస్తము ఒక వలయము (Ring) ఆ
ఐ. ఎ.ఎం. ఎల్