సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/మూడవ సంపుటము/గణితశాస్త్ర చరిత్రము
గణితశాస్త్ర చరిత్రము :
చరిత్ర పూర్వయుగము: మానవ మనో వికాసము ననుసరించియే గణితశాస్త్ర వికాసమును జరిగినదని చెప్పనగును. ఆదిమ మానవుడు తన దేశద్రిమ్మరి జీవిత మును మాని ఒక చోట స్థిరనివాస మెప్పుడేర్పరచు కొనెనో అప్పుడే నాగరికతా సోపానమున ఒక పెద్దమెట్టు ఎక్కినట్లు తలచవచ్చును. దానితో తన తినుబండారమును తానే ఉత్పత్తి చేసికొను అవుసరము అతనికి కలిగెను. అందుచేత లెక్కించుట, లెక్కలు కట్టుట మున్నగు కొన్ని గణితశాస్త్ర కల్పము లాతనికి అవసరమయ్యెను. ఇదియే గణిత శాస్త్రమునకు బీజావాపము. తృణ, కాష్ఠ, పర్ణ జల సమృద్ధములగు నదీతీరములు మానవజాతికి నివాసయోగ్యములై, ఆయా ప్రదేశములలో ప్రత్యేక సంస్కృతులు ఏర్పడుట సర్వజన విదితము. ఇట్లేర్పడినవే నైలు (ఈజిప్టు) నాగరికత, టైగ్రీస్, యూఫ్రిటీస్ (బాబిలోనియా) నాగరికత, సింధునదీ (హిందూ) నాగరికత, యాంగ్ ట్సీ, ఎల్లోనది (చైనా) నాగరికత మున్నగునవి. ఆయా దేశీయులందరును తమ తమ గణితశాస్త్రములను వేర్వేరుగా నిర్మించుకొని యుండవచ్చును. కాని వీటి విషయమున మనకు ఇప్పుడు తెలిసినది బహు స్వల్పము మాత్రమే. ఈజిప్టు, బాబిలోనియా దేశస్థులు తమకు తెలిసిన కొన్ని గణితవిషయములను కొన్ని మట్టి బిళ్ళలపై వ్రాసియుంచిరి. వీనిలో ఉపలబ్ధములైన వాటినిబట్టి చూడగా, వారికి కొంతవరకు భిన్నములు (fractions) తెలిసినట్లు ద్యోతకమగును. ప్రతి భిన్నమును ఏకాంక భిన్నముల (unitary fractions) మొత్తముగా వ్రాయుట వారికి అలవాటు. ఉదా : 2/7 ను వారు 1/4+1/28గా వ్రాయుచుండిరి. అదే కాలమున హిందూదేశమందును ఒక విధమగు గణితము వృద్ధి చెందినట్లు మనకు శుల్బ సూత్రములచే తెలియుచున్నది. యజ్ఞవేదికా నిర్మాణమునకై ఈ సూత్రములు నిర్మింపబడినవి. ఇవి అత్యంత ప్రాచీనములు. వీటిలో నొక విధమగు రేఖాగణితము కన్పట్టును. వారికి పలువిధములగు రేఖాగణిత చిత్రములు తెలియును. ఇప్పుడు మనము 'పైథాగరస్' సిద్ధాంతమని చెప్పుకొను సూత్రము ఒక విధముగా ఈ సూత్రకారులకు తెలిసియే యుండెననుట స్పష్టము. బాబిలోనియా వారికి గూడ ఇది కొంత స్థూలరూపమున తెలిసియే యుండినట్లు నిదర్శనములు కలవు. ఇవిగాక, భూమి కొలతలకును, ధాన్యపు కొలతలకును ఉపయోగపడు కొన్ని వైశాల్యములు, ఘన పరిమాణములు వీరు స్థూలముగ లెక్క కట్ట గలిగి యుండిరి. ఇక చైనా దేశమున ఎట్టి గణితశాస్త్ర ముండెనో వారి "దశ గ్రంథముల" (Suan-ching) చే తెలియనగును. ఇది పదిభాగములు కలిగి వారి ప్రభుత్వపు పరీక్షలలో ముఖ్య పాఠ్య గ్రంథముగా నుండెను. దీనిలో గణితశాస్త్రముకంటె యుక్తి ప్రశ్నలు, కొన్ని జ్యోతిష విషయములు మున్నగునవి ఎక్కువ. మనకు తెలిసిన “ఆరున్నొక్కటి, ఎనిమిది..." అను చిత్ర చతురస్రము (magic square) ఈ గ్రంథములోనిదే. సంఖ్యలను వ్రాయుటలో అంకెలకు స్థానమునుబట్టి విలువ నిచ్చుటగూడ ఈ గ్రంథమున అచ్చటచ్చట కాననగును.
గ్రీకు నాగరికత : గణిత శాస్త్రము నిజముగా గ్రీకుల కాలమునుండియే ఆరంభమైనదని భావింపవచ్చును. గ్రీకు సంస్కృతి, ఇతర సంస్కృతులకంటె కడు భిన్నమైనది. వారు వ్యవసాయముచే జీవించువారుకాక, వ్యాపారమే ముఖ్యవృత్తిగా కలవారు. అందుచే వారికి బహు దూరదేశస్థులతోడి సంపర్కము అవసరమై ఇతరులనుండి నేర్చుకొన దగినవన్నియు నేర్చుకొనుటకు అవకాశ మేర్పడెను. దేశము సర్వసమృద్ధమైనందున ప్రజలకు విశ్రాంతి ఎక్కువ లభించి, సంప్రదాయ సిద్ధముగా లభించిన మతము లేనందున స్వేచ్ఛగా ఆలోచించుటకు అవకాశ మేర్పడి, కొన్నిచోట్ల గూఢతత్త్వవాదము (mysticism) అతి గాఢముగా వ్యాపించుటయేగాక, కొన్నిచోట్ల తద్విరుద్ధమగు హేతువాదమును, ఆధునిక విజ్ఞాన దృష్టియుగూడ గాఢముగా ఏర్పడెను. ప్రతి విషయమును హేతువాదముచే సాధింపబడినగాని వారు దాని సత్యమును విశ్వసించువారుకారు. ఇదియే ఆధునిక గణితశాస్త్రమునకు జీవగఱ్ఱ. దీనికితోడు సృష్టి విషయములు, సృష్టికర్త విషయములు, జీవుల విషయము, మార్పు విషయము - అన్నియును గణితశాస్త్రముచే తెలియనగునను ఒక విశ్వాసముగూడ ప్రబలియుండుటచే ప్రతి తాత్త్వికుడును గణితశాస్త్రమును కొంచెముగనో గొప్పగనో అభ్యసింప వలసి యుండెను.
గ్రీకుల గణితశాస్త్రము ముఖ్యముగా మూడు సమస్యల నుండి ఉద్భవించినదని చెప్పవచ్చును -
(1) ఒక కోణమును మూడు సమ భాగములుగా ఖండించుట (Trisection of the angle). (2) ఒక ఘనమునకు రెట్టింపు ఘనపరిమాణము గల మరియొక ఘనమును కనుగొనుట (Duplica-tion of the cube).
(3) ఒక వృత్తము యొక్క వైశాల్యముతో సమాన వైశాల్యము గల ఒక చతురస్రమును కనుగొనుట (squaring a circle).
గ్రీకు గణితశాస్త్రజ్ఞు లందరను ఈ మూడు సమస్యలు వేధించినవే. ఈ సమస్యలలోని ముఖ్యవిషయ మేమనగా, వీటిని కొలత బద్దతోను, కంపాసులతోను సాధించుటకు వీలులేదు. అందుచే వీటిని సాధించుటకు క్రొత్త క్రొత్త గణితశాస్త్రపద్ధతులను నిర్మింపవలసివచ్చెను. ఈ ప్రయత్న ఫలితముగనే శంకుచ్ఛేదములును (conic sections), మరి యనేకములగు ఇతర వక్ర రేఖలును కనుగొనబడి వాటి ధర్మము లెల్లను సంపూర్ణముగా కనుగొనబడినవి. దేశమందంతటను గురుకులములు వెలసినవి. ఈ గురుకులములలో తత్వశాస్త్రము మున్నగువాటితో పాటు గణితశాస్త్రము గూడ అభ్యసింపబడుచుండెను. అట్టి గురుకులములలో నొకటియే ' పైతాగరియన్ స్కూల్' (Pythogorean School) అనబడునది (క్రీ. పూ. 400). దీనిలోనే మొట్ట మొదటిసారిగా కరణ్యంకములు (irrational numbers) అనునవి కనుగొనబడెను. (కరణ్యంకము లనగా భిన్నరూపమున వ్రాయనలవికాని అంకెలు). గణితశాస్త్రమునకు ఈ గురుకులము చేసిన గొప్ప సేవ ఇదియేనని చెప్పవచ్చును. ఇచ్చటి సూఫీ తాత్త్వికులందరును హేతువాదమున కెక్కువ ప్రాధాన్యము నొసగిరి. ఈ గురుకులములో నుండిన 'జీనో' (Zeno) అను తాత్త్వికుడు తన 'అసంభావ్యము'ల (paradoxes) చే ప్రసిద్ధికెక్కెను. వీటిని 'జీనో అసంభావ్యములు' (Zeno's paradoxes) అని అందురు. వీటి ప్రభావము గణితశాస్త్రమున ఇప్పటికిని మిగిలియున్నది. అప్పటి గణితశాస్త్రజ్ఞు లీ క్రింది సూత్రమును నిరాక్షేపణీయముగ విశ్వసించు చుండిరి.
(1) అతి సూక్ష్మ విభాగములు కొన్ని కలిసిన ఏర్పడునది అతి సూక్ష్మమే. అయితే ఈ విభాగముల సంఖ్య అపరిమితమైనప్పుడు వాటి మొత్తము కూడ అపరిమితమగును.
(2) అపరిమితమును అతిసూక్ష్మముచే హెచ్చించినచో, లబ్ధమును అతిసూక్ష్మమగును. (Infinity x Zero=Zero)
ఈ పై సూత్రముల అయథార్థతను వెల్లడించుటకై శూన్యము(Zero) ఈక్రింది అసంభావ్యములను నిర్మించెను.
1 ఒకానొకడు 'ఏ' అను చోటునుండి 'బి' అను చోటునకు పయనించె ననుకొనుడు. అతడు 'బి' ని చేరు లోపల, ఎ, బి ల మధ్యబిందువు 'బి1' ను గడువవలెను గదా ! ఇట్లే 'బి' ను చేరుటకు ముందు ఎ, బి ల మధ్యబిందువు 'బి2' ను చేరవలయును గదా ! ఈ విధముగా గమనించినచో, ఈ మధ్యబిందువుల సంఖ్యకు అంతులేదు. కావున ఈ మధ్యబిందువులను గడచు కాలములు అతిసూక్ష్మములైనను, వాటి సంఖ్య అపరిమిత మగుటచే 'బి' ని చేరుటకు అపరిమిత కాలము పట్టును. అనగా 'బి' ని ఎన్నటికిని చేర నేరడు.
(2) ఒక తాబేలును ఒక కుందేలు వెంబడించె ననుకొనుడు. మొదట కుందేలు 'ఎ' అను చోటను, తాబేలు 'బి' అను చోటను ఉండిన, కుందేలు 'బి' ని చేరునప్పటికి తాబేలు మరికొంత దూరము పోయి 'బి1' అను చోటును చేరును. కుందేలు 'బి1' చేరునంతలో తాబేలు 'బి2' ను చేరును. ఇట్లు ఎన్నటికిని కుందేలు తాబేలును చేరనేరదు.
దీనితో అప్పటికి గ్రీసులో నుండిన గణితశాస్త్రాభివృద్ధి స్తంభించిపోయిన ట్లగుపడెను. దీనికితోడు అప్పటికుండిన గ్రీసు సామాజిక వ్యవస్థయు తలక్రిందై, దేశమున అల్లకల్లోల పరిస్థితు లేర్పడుటచే గాబోలు, గ్రీకుల మానసిక ప్రవృత్తియు స్తంభించిన ట్లగుపడెను. కాని అచిరకాలముననే మరల ఆ దేశమున సుభిక్షమగు పరిస్థితులు ఏర్పడి మరల దేశము సుసంపన్నము కాగనే 'ప్లేటో' గురుకులము వెలసినది (Plato's Academy). ఈ గురుకులములో వెలసిన కొందరు గణితశాస్త్రజ్ఞులు 'జీనో' అసంభావ్యములలో ఇమిడియున్న గణితశాస్త్ర సమస్యలను విడదీయ ప్రయత్నించి కొంతవరకు కృతకృత్యులైరి. అందుచే మరల గణితశాస్త్ర ప్రగతి యథేచ్ఛ ముగా సాగిపోయెను. ఈ గురుకులములలో వెలసిన గణితశాస్త్రజ్ఞులలో ముఖ్యుడు "ఎన్‌డాక్సెస్" అను నాతడు (Endoxes - క్రీ. పూ. 408-355). తరువాత యూక్లిడ్ (Euclid) రచించిన 'ఎలిమెంట్స్' (Elements) అను గ్రంథములోని "వికరణ్యంకముల వాదము" “థియరీ ఆఫ్ ప్రొపోర్షన్స్" (theory of Proportions) మొదలగునవి కనుగొనబడినది. ఈ గురుకులమునందే. ముఖ్యముగా 'ఎండాక్సెస్' చే నిర్మింపబడిన “మెథడ్ ఆఫ్ ఎగ్జాషన్" (Method of Exhaustion) అనుదాని ప్రాముఖ్యము ఇంతింతయన రాదు. దీని మూలమున 'జీనో' యొక్క అసంభావ్యములకు సంతృప్తికరములగు సమాధానములు లభించుటయేగాక, వృత్తములు మొదలగు వక్ర రేఖలచే పరిమితములగు అనేక ఆకారములకు (Figures), వైశాల్యములును, అసంఖ్యాకములగు ఘనరూపముల ఘనపరిమాణములును లెక్కకట్టబడినవి. ఇప్పుడు మనము కలనగణిత పద్ధతిచే కనుగొను వైశాల్యములు ఘనపరిమాణములలో చాలవరకు వారు కనుగొనినవే.
ఇంతలో అలెగ్జాండరు జైత్రయాత్రలు మొదలై, గ్రీకు సంస్కృతిని ఈ జిప్టు, మధ్య ఆసియా, హిందూదేశమున కొంతవరకును వ్యాపింపజేసినవి. దీనితో వివిధ దేశ ప్రజలతో భావసంపర్క మేర్పడి, విజ్ఞానాభివృద్ధికి మిగుల దోహద మేర్పడినది. గ్రీకుల గణితశాస్త్రములోని అత్యంత ముఖ్యభాగము లన్నియు ఈ కాలమున (క్రీ. పూ. 350 – 200) ఏర్పడినవే. అలెగ్జాండరు గొప్ప సైనికుడే కాక, విజ్ఞానప్రియుడు గూడ. ఈజిప్టులోని అలెగ్జాండ్రియా విశ్వవిద్యాలయము ఆతనిపేరుతో వెలసినదే. ఇదిగాక ఏథెన్స్ నగరమందును, సైరక్యూస్ నగరమందును గొప్ప విజ్ఞాన కేంద్రము లేర్పడినవి. అలెగ్జాండ్రియా విశ్వవిద్యాలయము అలెగ్జాండరు మరణానంతరము వెలసినది. అప్పటికి ఈజిప్టు, 'టాలమీ' రాజుల పాలనము క్రింద నుండెను. టాలమీ రాజుల విజ్ఞాన ప్రియత్వమును అలెగ్జాండరుకు తీసిపోనిదే. అలెగ్జాండ్రియా విశ్వవిద్యాలయములోనే మొట్టమొదటి సారిగా, తాముచేసిన కష్టమునకై జీతమును పొందుచు, విజ్ఞానమునే జీవనోపాధిగా పెట్టుకొనిన శాస్త్రజ్ఞులు, పరిశోధకులు వెలసిరి. వీరిలో మొట్టమొదట మన స్మృతిపథమునకు వచ్చు వాడు యూక్లిడ్ (క్రీ. పూ. 306-283). ఇతడు విశ్వవిద్యాలయ గ్రంథాలయములో గ్రంథపాలకుడుగా నుండెనని చెప్పుదురు. ఇతడు 'ఎలిమెంట్స్' (Elements) అను గణితశాస్త్ర గ్రంథమును రచించెను. బైబిల్ గ్రంథము తరువాత, ప్రపంచములో ఇంత ప్రచారమును చెందిన గ్రంథము మరియొకటిలేదు. ప్రపంచమందలి అన్నిదేశములలోను ఇప్పటికిని, సెకండరీ విద్యలో ఈ గ్రంథములోని భాగములే కొన్ని మార్పులతో పాఠ్య విషయములుగ నున్నవని చెప్పవచ్చును. కొన్ని నిర్వచనములు, అర్ధాపత్తులు, స్వీకృతులనుండి సక్రమమైన హేతు తర్కముతో సిద్ధాంతములను రుజువుచేయుట ఈతని పద్ధతి. అంతవరకుండిన గణితశాస్త్ర జ్ఞానమంతయును క్రోడీకరించుటయే ఆతని ఉద్దేశము. ఆతని అనుమితి పద్ధతి (Deductive method) ఇప్పటికిని గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ఉపాయముగనే యున్నది. అతనికి క్షేత్ర గణితముపై ఆసక్తి మెండు అందుచే బీజగణితమునకు సంబంధించిన విషయములకుకూడ క్షేత్రగణిత స్వరూప మొసగును. ఉదా : ā అనుటకు బదులుగా “a వైశాల్యముగల చతురస్ర భుజము" అనియు, ab అనుటకు బదులు "ఒక భుజము a, మరియొక భుజము b గల దీర్ఘ చతురస్ర వైశాల్యము" అగును.
ఇతని తరువాత మన స్మృతిపథమునకు వచ్చువాడు ఆర్కిమిడిస్ (Archimedes) క్రీ. పూ.287-212) అను నతడు. ఇతడు సైరక్యూస్ పట్టణములో 'హైరో' (Hiero) అను రాజునకు సలహాదారుగా నుండెను. ఈతడు అసంఖ్యాక ములగు సిద్ధాంతములను కనుగొనెను. ఇప్పుడు మనము కలన గణిత పద్ధతిచే సాధించు విషయము లన్నియు అతడు కనుగొనినవని చెప్పవచ్చును. ఆనాటికి కలన గణిత పద్ధతిలేదు.
ఆతడు రచించిన గ్రంథములు :
(1) Computation of T(T విలువ లెక్క కట్టుట)
(2) On the sphere and cylinder (గోళము, స్తూపము)
(8) The Quadrature of parabola (పరవలయ వైశాల్యము) (4) Spirals (సర్పిలములు) ఈ గ్రంథముననే 'ఆర్కి మిడిస్ స్పైరల్' అని ప్రసిద్ధి వడసిన సర్పిలాకార రేఖయు, దాని ధర్మములన్నియు కనుగొనబడి, సంపూర్ణముగ చర్చించ బడినవి.
(5) On Conoids and Spheroids. దీనిలో భ్రమణముచే నేర్పడు కొన్ని వస్తువుల ఘన పరిమాణములు లెక్క వేయబడినవి.
(6) On Floating Bodies (తేలెడి వస్తువులు) ఈ గ్రంథముననే “ఒక వస్తువును ఒక ద్రవములో ముంచిన దాని సమాన ఘన పరిమాణముగల ద్రవభారమును అది కోల్పోవును." అను ఆర్కిమిడిస్ సూత్రము (principle) కలదు.
ఈ గ్రంథము లన్నింటియందును అతడు చూపిన స్వతస్సిద్ధమగు ప్రతిభ (originality), లెక్కలు కట్టు సామర్థ్యము, ఉపపత్తుల హేతువాదశక్తి అద్వితీయములు.
ఆర్కిమిడిస్ తరువాత చెప్పుకొనవలసినవాడు అపోలోనియస్ (Apollonius) అనునాతడు (క్రీ. పూ. 260-170). ఇతడు కొన్నాళ్లు అలెగ్జాండ్రియా విశ్వవిద్యాలయము నందును, కొన్నాళ్లు 'పెర్గనమ్' (Perganum) విశ్వవిద్యాలయము నందును పనిచేసినట్లు తెలియుచున్నది. ప్రపంచమునందలి క్షేత్ర గణితశాస్త్రజ్ఞులలో కెల్ల ఈతడు అగ్రగణ్యుడని కొందరి అభిప్రాయము. దీనికి ఇతడు రచించిన “శంకుచ్ఛేదములు" (conic sections) అను గ్రంథమే నిదర్శనము. దీనిలో వృత్తము, సరళ రేఖాద్వయము, పరవలయము, దీర్ఘవలయము, అతివలయము మున్నగు శంకుచ్ఛేదములు అతి క్షుణ్ణముగా చర్చింపబడినవి. ఈ గ్రంథములోని ఇంచుమించు అన్ని విషయములును ఆతడు కనుగొనినవే. గణితశాస్త్రముతో బాటు ఖగోళశాస్త్రము గూడ వృద్ధిబొందెను. ఆ రోజులలో గణిత శాస్త్రమును, ఖగోళశాస్త్రమును ఒక దాని నుండి మరియొకదానిని విడదీయుటకు వీలుగా నుండెడిది. ఒక దానిలో జరిగిన ప్రగతి రెండవదాని యభివృద్ధికి దోహదమగుచుండెను. గ్రీకుల కాలమునకు పూర్వమే బాబిలోనియావారు, హిందూదేశీయులు కొంత ఖగోళశాస్త్ర జ్ఞానమును సంపాదించియుండిరి. ఐనను ప్రాచీనకాలమునాటి మొట్టమొదటి ఖగోళశాస్త్రజ్ఞుడని చెప్పుకొనవలసినవాడు హిపార్కసు (క్రీ. పూ. 161-126). ఈతని రచన లేవియు మనకు సూటిగా లభింపకపోయినను, మూడు శతాబ్దుల తర్వాత టాలమీచే రచింపబడిన 'ఆల్మజిస్ట్' (Almagist) అను మహాగ్రంథములోని ఇంచుమించు అన్ని విషయములును హిపార్కస్‌చే కనుగొనబడినవే. రవి, చంద్రులయొక్కయు, ఇతరగ్రహముల యొక్కయు గమనమును నిర్థరించుటకు వికేంద్రవృత్తములను (eccentric circles) వాడినది అతడే. అయనాంశను కనుగొనినది గూడ ఆతడే. భూమిపై నుండు ప్రదేశములయొక్క అక్షాంశరేఖలను కనుగొనుటకు అత డొక పద్ధతిని కనిపెట్టెనని ప్రతీతి. త్రికోణమితి శాస్త్రమునకు ఆతడే మూలపురుషుడని చెప్పవచ్చును. ఇదియంతయు ప్రాచీ ప్రతీచీ భావసమ్మేళనఫలమే. ఇంతలో రోమన్ సామ్రాజ్యవ్యాప్తి పెద్ద వెల్లువవలె ముంచుకొనివచ్చినది. క్రీ. పూ. 212 లో సైరక్యూస్, క్రీ. పూ. 146లో కార్తేజి, అదే సంవత్సరములో గ్రీసుదేశము, క్రీ. పూ 64 లో మెసపోటేమియా, క్రీ. పూ. 30లో ఈజిప్టుదేశము, రోమన్‌సామ్రాజ్యము పాల బడినవి. ఈ దేశములు తమ స్వాతంత్ర్యమును గోల్పోవుటచే, ఆదేశీయుల మానసికాభివృద్ధియు స్తంభించిపోయెను. అటుతర్వాత వచ్చిన గ్రంథములు చాలవరకు వ్యాఖ్యానములు, క్రోడీకరణములు మాత్రమే. దీనికి తోడు రోమను సంఖ్యాపద్ధతి చాలప్రతిబంధకమయ్యెను. దీనితో లెక్కలు వేయుట సులభము కాదు. గ్రీకు శాస్త్రజ్ఞుల క్షేత్ర గణిత పక్షపాతము బీజగణితాభివృద్ధికి గొప్ప ఆటంకమై, గణితశాస్త్రవిజ్ఞానాభి వృద్ధి అసంభవమనిపించెను. ఒక విధమగు అంధ కారయుగము ప్రారంభమైనట్లనిపించెను. ఆ తర్వాత వచ్చిన గ్రీకు శాస్త్రజ్ఞులలో చెప్పుకొనదగినవాడు 'డియొఫాంటస్' (Diophontus, క్రీ.శ. 250) మాత్రమే. ఇతడు రచించిన గ్రంథములలో ఆరు మాత్రము ఇప్పుడు ఉపలబ్ధము లగుచున్నవి. ఎన్నిరచించెనో సరిగాతెలియదు. ఇతడు ముఖ్యముగా 'కుట్టకవ్యవహారము'న (Indetermi-nate Equations) ఎక్కువ పని చేసెను. అదివరకే బాబిలోనియా లోను, హిందూదేశములోను ఈ 'కుట్టకవ్యవహార జ్ఞానము' చాల వృద్ధిబొందియుండుటచే, ఇందులో ఆతని పని యెంతయో, ఇతరుల నుండి గ్రహించిన దెంతయో చెప్పుట కష్టము. బీజగణితములో ఒక విధ మగు సంకేతములను ఉపయోగించిన మొదటి శాస్త్రజ్ఞు డితడే.
ప్రాచ్యగణితము : ఈ కాలమున గణితశాస్త్రమున చెప్పుకొనదగిన అభివృద్ధి కనిపించకపోయినను, గ్రీకులకును, అరబ్బు, పారసీక, హిందూదేశములకును వర్తక సంబంధములు గాఢముగ అల్లుకొనిపోయి యుండుటచే, అదివర కుండిన జ్ఞానము ఈ దేశము లన్నిటియందును వ్యాపించుటకు అవకాశముగలిగి, ఆయా దేశస్థులు తమకు ఉపలబ్ధమైన జ్ఞానమును వృద్ధిపరచుకొన నవకాశము పొందిరి. అందుచే ఈ కాలమున ఆరేబియా, హిందూ దేశములలో గణితశాస్త్రమున కొంత ప్రగతి గల్గినది.
ఆధునిక విజ్ఞానమునకు హిందూ దేశము సమర్పించిన మొదటికానుక సిద్ధాంతములు. వీటిలో సూర్యసిద్ధాంతము (క్రీ. శ. 300 - 400) ముఖ్యమైనది. ఇది ఖగోళ శాస్త్ర విషయము. దీనిలో గ్రీకు, బాబిలోనియా ఖగోళ శాస్త్రముల ప్రభావము స్పష్టముగకన్పడును. ఈ సూర్య సిద్దాంతములో మొట్టమొదటిసారిగా జ్యాపథకములు (Tables of Sives) కన్పించును. ఈ సిద్ధాంతములు క్రీ. శ. 773 లో అల్-ఫజారి అనునాతనిచే అరబ్బీ భాషలోనికి తర్జుమా చేయబడెను. క్రీ. శ. 500 ప్రాంతమున జీవించియుండిన ఆర్యభట్టు 'ఆర్యభటీయ'మను గణితశాస్త్ర గ్రంథమును రచించెను. దీనిలో కొంత గణితమును, కొంత ఖగోళశాస్త్రమును కలిసియున్నవి. T= 3.1416 అని అర్యభట్టు గ్రహించెను. క్రీ. శ. 625 ప్రాంతముననున్న బ్రహ్మగుప్తుడును గణితశాస్త్రమున కొంత పరిశ్రమచేసెను. గ్రహగమనమాతనికి బాగుగ తెలిసినట్లున్నది. ax+by=c (a, b, c లు పూర్ణాంకములు). ఈ కుట్టక సమీకరణమునకు సాధారణ సమాధానమును మొదట కనుగొనినవాడు బ్రహ్మగుప్తుడు. అందుచే ప్రథమఘాత కుట్టక వ్యవహారమున 'డియొఫాంటస్ 'కంటె బ్రహ్మగుప్తుడు ఒక అడుగు ముందునకు వై చెననుట స్పష్టము. క్రీ. శ. 1150 ప్రాంతమున ఉజ్జయినీ నగరమున భాస్కరాచార్యులు అనునొక గొప్ప గణితశాస్త్రజ్ఞుడుండెను. అతడు రచించిన “లీలావతి” అను గ్రంథము పెక్కు శతాబ్దములవరకు హిందూ దేశమున ప్రమాణగ్రంథముగా నుండెను. ఇతడు ద్వితీయ ఘాతకుట్టకవ్యవహారమున అతిదక్షుడు. ఇతడు విడదీసిన సమస్యలు కొన్ని బహుకాలము తర్వాతగాని ఐరోపా ఖండమున సాధింపబడలేదు.
హిందూగణితము యొక్క ముఖ్యసాధన (achievement) దానిలో సంఖ్యలు వ్రాయుపద్ధతి. దీనిని దశాంశ స్థాన పద్ధతి (decimal position system) అందురు. శూన్యమును ఒక సంఖ్యగా గ్రహించిన మొదటివారు వీరే. ఈ రెండును క్రమక్రమముగా అరబ్బు ప్రపంచమునకును, అచ్చటినుండి యూరపు దేశమునకును ప్రాకి, అదివరకుండిన రోమను సంఖ్యలకు బదులు, ఇవి వాడుకలోనికి వచ్చెను.
అరబ్ దేశములోని గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో ముఖ్యుడు 'మహమ్మద్ ఖన్‌మూసా ఆల్ ఖవారిజ్మి' (క్రీ. శ. 825). ఇతడు గణితశాస్త్రము పైనను, ఖగోళ శాస్త్రము పైనను పెక్కు గ్రంథములు రచించెను. అతని అంకగణితము హిందువుల సంఖ్యాపద్ధతియే. అతని ఖగోళ శాస్త్రము హిందూదేశములోని సూర్యసిద్ధాంతము మొదలైనవాటి క్లుప్తీకరణమే. అతని బీజగణితము ప్రథమ, ద్వితీయవర్గ సమీకరణముల సాధనమే. అతని క్షేత్రగణితము కేవలము కొన్ని వైశాల్యములను, ఘనపరిమాణములను లెక్కకట్టు సూత్రముల పట్టికయే. దానిలో ఎచ్చటను గ్రీకు గణిత శాస్త్ర పద్ధతుల వాసనయే కానరాదు. అయితే ఈ గ్రంథముయొక్క ప్రాధాన్యము ఏదియనగా, దీనిమూలముననే హిందూ సంఖ్యాపద్ధతి యూరపునం దంతట వ్యాపించుటకు అవకాశమేర్పడెను. అరబ్ దేశములోని ఇతర శాస్త్రజ్ఞులు గణితమునకు చేసిన సేవ అత్యల్పము.
అయితే అరబ్ దేశీయులు గణిత శాస్త్రమునకు చేసిన గొప్ప సేవ ఒకటి యున్నది. గ్రీసు విజ్ఞాన ప్రాముఖ్యమును వారు బాగుగా గ్రహించిరి. యూక్లిడ్, ఆర్కిమిడిస్, అపోలోనియస్, డైఫాంటస్, హిపార్కస్, టాలమీ మొదలగువారి రచనలన్నిటిని వారు సేకరించి, వాటి నన్నిటిని అరబ్బీ భాషలోనికి అనువదించుకొనిరి. తరువాత క్రైస్తవమత దౌష్ట్యమునకు పాల్పడి గ్రీకు విజ్ఞాన మంతయును ఉత్పన్నము (uprooted) కాగా ఈ అనువాదముల మూలముననే ఆ విజ్ఞానము మరల మానవ ప్రపంచమునకు ఉపలబ్ధమైనది. యూరపు ఖండములోని మధ్య యుగపు గణితశాస్త్రము: విజ్ఞానాభి వృద్ధికి క్రైస్తవమత మొనరించిన అపకారము మరే మతమును చేయలేదు. ప్రజలలో విజ్ఞానాభి వృద్ధి కలిగినచో అది మత విశ్వాసములకు గొడ్డలి పెట్టై తమ ఆధిపత్యము తలక్రిందగునని మతాధికారులు భయమందిరి. అందుచే వారు దాని వినాశమునకు చేయ గలిగినదంతయును చేసిరి. గ్రీకు విజ్ఞానము వారి ఈర్ష్యాగ్నికి ఆహుతియై పోయెను. ఐతే ఏడవ శతాబ్దినుండి ఇస్లాము మతము వెల్లువవలె పై కుబికి, ప్రాచీ, ప్రతీచీ భూఖండములను ముంచివేసెను. ముసల్మానుపాలనములో పరిస్థితులు కొంతవరకు మెరుగుగా నుండెను. వారి ఏలుబడిక్రిందనున్న ప్రదేశములలో అచ్చటచ్చట మరల గురుకులముల వంటివి ఏర్పడి పరిశోధనలు సాగనారంభించెను. కాని అప్పటికే గ్రీకులు రచించిన గ్రంథములన్నియు నష్టములై పోగా, వాటి అరబ్బీ భాషాంతరీక రణములు మాత్రము ఉపలబ్ధములగుచుండెను. కాని అవియన్నియు అరబ్బీ భాషలో నుండుటచేతను, ముసల్మానుల అధీనములో నుండుటచేతను, ఇతరులకు అందుబాటులో లేకుండెను. అప్పటి యూరపు ఖండమున వెలసిన మత విద్యాసంస్థలలో, గణితశాస్త్రము గూడ బోధనావిషయముగ నున్నను, అది నామమాత్రమే. ఆ విద్యాప్రణాళికయు విజ్ఞాన తృష్ణను అణచివేయునదే గాని, ఉత్తేజకరమైనది కాదు. ఇట్టి పరిస్థితులలో కొందరు విజ్ఞాన పిపాసువులు అతికష్టము పై అరబ్బుల నుండి గ్రీకువిజ్ఞానమును గ్రహింప గలిగియుండిరి. క్రీ. శ. 1120 లో 'అడెల్ హార్డ్ ఆఫ్ బాత్' (Adelhard of Bath) అను ఆంగ్లేయుడు ముసల్మాను విద్యార్థి వేషమున సంచరించి యూక్లిడ్ రచించిన “ఎలిమెంట్స్" (Elernents) ను సంపాదించి, దానిని లాటిను భాషలోనికి వెంటనే అనువదించెను. దీని మూలముననే యూక్లిడ్ యొక్క “ఎలిమెంట్స్" యూరపు ఖండమునకు పరిచయమైనది. లియనార్డో అను నొక వర్తకుడు తన వర్తక వ్యాపారమునకై ప్రాచ్యదేశమున సంచరించి కొంత గణితశాస్త్ర జ్ఞానమును ప్రాచ్య దేశీయుల నుండి సంపాదించి "లిబర్ అబాసి” (Liber Abaci) అను బీజగణిత గ్రంథమును 1202 లో రచించెను. 1220 లో "ప్రాక్టికా జామెట్రికా" (Practica Geometrica) అను క్షేత్రగణిత గ్రంథమును రచించెను. ఇతడు 'ఆల్-ఖవారిజోమి' (Al-khawarizomi) అను గ్రంథముల నుండి అనేక ఉదాహరణము లిచ్చెను. ఇట్లే రానురాను గ్రీకు విజ్ఞానము, హిందూ విజ్ఞానము, అరబ్బు విజ్ఞానము యూరప్ ఖండమునకు పరిచితము గాజొచ్చెను. 15 వ శతాబ్ది యందలి గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో అగ్రగణ్యుడు కానిగ్జ్ బర్గ్ (konigsberg) నగర నివాసియగు 'జాన్ మిల్లర్ ' అనునాతడు. ఇతనినే 'రెజిమోంటేనస్ ' (Regimountañus) అని యందురు. ఇతడు అనేక గ్రీకుగ్రంథములను అరబ్బీ భాష నుండి లాటినులోనికి అనువదించెను. వాటిలో ముఖ్యమైనవి అపోలోనియస్, (Apollonius) ఆర్కిమిడిస్ (Archimedes), హెరన్ (Heron) ల యొక్క కృతులు. ఆ కాలమున చెప్పుకోదగిన గొప్ప గణితశాస్త్రజ్ఞు లెవ్వరును లేరు. అప్పుడు వృద్ధిబొందిన వ్యాపారముచే, నిపుణులైన అక్కౌంటెంట్లకును, రాకపోక లెక్కువైనందున ఇంజనీర్లకును ఎక్కువ గిరాకి తగిలెను. అందుచే స్థాపత్య శాస్త్రము, దాని కనుబంధరూపమగు స్థితిశాస్త్రము, ద్రవస్థితిశాస్త్రము, యంత్రశాస్త్రము మున్నగునవి కొన్ని వృద్ధిబొందెను. 'లియనార్డో-డ-విన్సీ' (Leanardo - da - Vinci) అను నాతడు (1450) ఒక గొప్ప చిత్రకారుడు, ఇంజనీయరు, యంత్ర నిర్మాత, గణితశాస్త్రజ్ఞుడు. ఇతడు భౌతిక శాస్త్రాభివృద్ధికి చాలా తోడ్పడుటయేగాక, యంత్రశాస్త్రమును గట్టి పునాదులపై నిర్మించెను. ఇంచుమించుగా ఈ కాలముననే (1473) కొపర్నికస్ అను శాస్త్రజ్ఞుడు, ఈ విశ్వమునకు కేంద్రము సూర్యుడనియు, సూర్యుని చుట్టును భూమి మున్నగు గ్రహము లన్నియు తిరుగుచున్నవనియు ఊహించెను. అయితే, ఇది ఊహమాత్రమే గాని, దాని కత డేమియు ఉపపత్తి నీయ జాలకపోయెను.
కాలానుగతముగా యూరపు ఖండమం దంతటను గొప్పపట్టణములు వెలసెను. ప్రాచ్యదేశములతో వ్యాపారము వృద్ధిచెందెను. కొన్ని కొన్ని వ్యాపార కేంద్రములలో విద్యాసంస్థలును వెలసెను. ఇట్టి విద్యా సంస్థలలో ముఖ్యమైనవి కొన్ని ఇటలీదేశమున నున్నవి. అచ్చటి 'బొలోనా' (Bologna) విశ్వవిద్యాలయము చాల ప్రసిద్ధి వహించి, యూరపు ఖండము యొక్క ప్రతిభాగము నుండియు విద్యార్థులను ఆకర్షించెను. అచ్చటి వారు కొందరు, గ్రీకులచేతను, అరబ్బులచేతను అసాధ్యమని వదలివేయబడిన ఘనసమీకరణములను సాధించుటచే, అది విజ్ఞానక్షేత్రమున గొప్ప సంచలనమును కలుగజేసి, పరిశోధనాసక్తిని మరల వృద్ధిపొందించెను. (ఈ కాలముననే అచ్చుయంత్రము క నుగొనబడెను. అమెరికాఖండము గూడ ఇదేకాలమున కనుగొనబడెను) ఘనసమీకరణముల సాధనను మొదట కనుగొనినవాడు ప్రొఫెసర్ సిపియో డెల్ ఫెర్రో (Scipio Del Ferro - క్రీ. శ. 1528). కాని ఇతడు తనపరిశోధనలు ప్రచురింపకయే కొందరు స్నేహితులతో మాత్రము చెప్పి చనిపోయెను ఈ పద్ధతినే' తార్‌తాగ్లియా' (Tartaglia) అను నొక లెక్కగాడు మరల క్రీ. శ. 1535 లో కనుగొనెను. కాని దానిరహస్యమును ఇతరులకు వెల్లడించ నిష్టపడకపోయెను. కాని ఈతని స్నేహితుడును, మిలాన్ నగర వైద్యుడును అగు 'కార్టన్' అను నాతడు, ఇతరుల కెవ్వరికిని చెప్పనని ప్రమాణముచేసి, ఈ రహస్యమును ఆతనినుండి గ్రహించెను. వెంటనే 1545 లో తాను రచించిన 'ఆర్స్ మాగ్నా' (Ars Magna) అను గ్రంథములో దానిని ప్రచురించెను. అందుపై స్నేహితు లిరువురికిని వివాదము పెరిగి ఒకరి నొకరు దూయబట్టుకొనిరి. దీనిలో ఈయబడిన పద్ధతిని 'కార్టాన్' పద్ధతి యందురు. x3 + pn = q అను సమీకరణము యొక్క మూలము
ఈ గ్రంథముననే మరియొక గొప్ప విషయము కూడ ఈయబడినది. అది ఏమనగా చతుర్థవర్గ సమీకరణ సాధనము. దీనిని కనుగొనినవాడు 'ఫెర్రా' (Ferra) అను నొక విద్యార్థి. ఈ పద్ధతి ఘనసమీకరణ సాధనపై ఆధారపడియుండును.
పై చెప్పిన సమీకరణముల సాధనము సుసాధ్యమగుట కొక కారణము ఆనాటికి ప్రచారములోనికి వచ్చిన "క్లిష్ట సంఖ్యలు" (complex numbers), notes
17 వ శతాబ్ది ఆరంభమునాటికి 'కాంప్యుటేషనల్ టెక్నిక్ ' (computational technique) చాలా వృద్ధి బొందెను. 'జాన్ నేపియర్' (John Napier) అను స్కాట్లండుదేశీయుడు 1614లో 'లోగరిథమ్స్ 'ను (Logarithms) కనుగొని, పెద్దగుణకారములను కూడికలుగా మార్చివేయు పద్ధతిని ప్రవేశపెట్టెను. దానిని కెప్లర్ మున్నగువారు ప్రచారములోనికి తెచ్చిరి.
ఆధునికయుగము: 17 వ శతాబ్ది ఆరంభమునకే యంత్రయుగము ఆరంభమైనదని చెప్పవచ్చును. క్రొత్తక్రొత్త యంత్రములను కనుగొనుట, వాటి కనుగుణమగు యంత్రశాస్త్ర మభ్యసించుట మున్నగునవి అనివార్యమాయెను. 1620 నాటికి 'స్టివెనస్' అను శాస్త్రజ్ఞుడు స్థితిశాస్త్రమునకును, ద్రవస్థితి శాస్త్రమునకును అత్యంతమైన సేవ యొనర్చెను. ఈ కాలముననే 'పీసా' విశ్వవిద్యాలయములో నుండిన గెలిలియో (1564-1642) చలన శాస్త్రమును, గణితశాస్త్ర పద్ధతిని వృద్ధిపరచెను. ఖగోళశాస్త్రమున కాతడు మిగులసేవ యొనరించెను. మొట్టమొదటగా టెలిస్కోపు కనుగొనిన దాతడే. దాని మూలమున గ్రహములను వీక్షించి అవి యన్నియు సూర్యునిచుట్టును తిరుగుచుండుట ఆతడు చూచెను.
అప్పటివరకు జరిగిన యాంత్రిక శాస్త్రాభివృద్ధిని గమనించిన కలన గణితమును ఒక సక్రమపద్ధతిని వృద్ధిపరచుటకు అవసరమగు సమయము ఆసన్నమైనట్లు తోచెను. కలనగణితము లేకుండ, ఇకముందు పరిశోధనములు సాగునట్లు కనిపించలేదు. అందుచే కొందరు గణిత శాస్త్రజ్ఞుల దృష్టి కలనగణిత సృష్టివైపు మరలెను. వారిలో మొట్టమొదటి వాడు గెలిలియో శిష్యుడగు 'కావలీరీ ' (Cavalieri). ఇతడు 1635 లో "జామెట్రిస్ ఇన్డివిజిబిలిబిస్ కన్టిన్యు వోరమ్" (Geometrice Indivisibilibes Continuorum) అను గ్రంథమును రచించి కలన గణితమునకు ఒక స్వరూపమును కల్పించెను. అతి మందకొడిగా నడచిన కలనగణిత వికాసము 'డెకార్టే' (Descartes) అను ఫ్రెంచి తత్త్వవేత్త రచించిన 'జామెట్రిక్ ' (Geometric 1637) అను గ్రంథప్రచురణముచే చురుకెక్కెను. అప్పటినుండి ఆధునిక గణితశాస్త్రము ప్రారంభమైనట్లు ఎంచవచ్చును. ఇప్పటి మన 'కో ఆర్డినేట్ జామెట్రీ' (Coordinate Geometry) అప్పటితో ప్రారంభమైనట్లు భావింపవచ్చును. దీని విశిష్టత ఏమనగా, అంతకుముందు క్షేత్రగణితము, బీజగణితము ఒకదాని కొకటి సంబంధము లేకయుండెడివి; డెకార్టే కనుగొనిన పద్ధతిలో ఇవిరెండును కలిసిపోయినవి. అంతకుముందు, వృత్తాది వక్రరేఖలు, ధర్మములు విడివిడిగా క్షేత్రగణిత పద్ధతులలో కనుగొనబడు చుండెడివి. ఈ కో ఆర్డినేట్ జామెట్రీతో ఒక రేఖయొక్క ఒకధర్మము తెలిసినచో, బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి, దానియొక్క ఇతర ధర్మముల నన్నిటిని సాధింపవచ్చును. ప్రతి వక్ర రేఖయు ఒక బీజగణిత సమీకరణముచే సూచింపబడి, దాని ధర్మము లన్నియు, బీజగణిత పద్ధతులచే సాధింపవచ్చును. ఇది సామాన్యవిషయము కాదు. దీనిచే గ్రీకులు నిర్మించిన క్షేత్రగణిత జ్ఞానమంతయును అతి సులభమగుటయేగాక, కలనగణిత పరిశోధనలకు అత్యంత సౌలభ్య మేర్పడినది.
డెకార్టే నిర్మించిన 'కో ఆర్డినేట్ జామెట్రీ'ని అత్యంతము అభివృద్ధిపరచి దానికొక స్వరూపకల్పనము గావించిన వాడు, అతని సమకాలికుడగు ఫెర్మా (Fermat) అనునొక ఫ్రెంచి న్యాయవాది (1601-1665). ఈతడొక గొప్ప మేధావి. ఇతనికి గణితశాస్త్రమొక అభిమాన విషయము (hobby). ఇతడు అనేకవిషయములను కనుగొనెను. తాను కనుగొన్న విషయములన్నింటిని 1621 లో లాటినులోనికి అనువదింపబడిన 'డియొఫాంటస్' (Diophantus) అనుగ్రంథము యొక్క మార్జినులలో వ్రాసి పెట్టి యుంచెను. అంక సిద్ధాంతములోని ఫెర్మా సిద్ధాంతము, ఫెర్మా చరమసిద్ధాంతము మొదలగునవి ఈ మార్జినులలో వ్రాసి పెట్టబడినవే. ఈ రెండవదానికి ఇంతవర కెవ్వరును ఉపపత్తి కనుగొనలేదు. దీని ఉపపత్తి తనకు తెలిసినను, స్థలాభావముచే దానిని వ్రాయలేదని ఫెర్మా వ్రాసి పెట్టెను. ఫెర్మా "థియరీ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ" (Theory of probability)ని కనుగొనెను. వీరికి సమకాలముననే ఫ్రాన్సుదేశమున మరి ఇరువురు గణిత శాస్త్రజ్ఞులుండిరి. ఒకడు డిసార్జియస్ అను నాతడు. ఇతడు 'పర్స్‌పెక్టివ్ జామెట్రీ' పై (Perspective geometry) ఒక బృహద్గ్రంధమును రచించెను. గ్రీకుల క్షేత్ర గణితజ్ఞానమున కిది స్థాయీభావమని చెప్పనగును. గ్రీకులక్షేత్ర గణితము ఇంతకంటె ముందునకు సాగుట సంభవమా అనిపించు నంతటి ప్రతిభను ఆతడు తన గ్రంధమున ప్రదర్శించెను. రెండవవాడు 'పాస్కల్ ' అను నాతడు (1623-1662). ఇతడొక తాత్త్వికుడు. మతాభినివేశము మెండు. ఐనను తన మతాభినివేశము అతని గణితశాస్త్ర పరిశోధనలకు ఏ విధముగను అడ్డుతగులలేదు. అతడు తన పదియారవ సంవత్సరముననే 'పాస్కల్ సిద్ధాంతమ'నబడు దానిని కనుగొనెను. ఇదియొక శంకుశ్ఛేదములో నిర్మింపబడిన షట్భుజ విషయము. దీనిలో అతనిపై డిసార్జియస్ ప్రభావము సువిదితము. ఇతడొక లెక్కలుకట్టు యంత్రమును నిర్మించెను. (Computing Machine). అంకగణిత త్రిభుజము గూడ (Arithmetical triangle) ఇతడు కనుగొనినదే. ఇది యిట్లుండగా, ఆ కాలమున ప్రచారములోనికి వచ్చుచుండిన బీమా (Insurance) పద్ధతివలన గూడ ధనికులు ఆడుకొనుచుండు జూదము, చీట్లాట మొదలగు వాటినుండి ఉత్పన్నమగు సమస్యలను విడదీయవలెనని, ఫెర్మా, పాస్కల్ ఇరువురును ప్రయత్నించి, ఈ విషయములో ఒకరితో నొకరు ఉత్తర ప్రత్యుత్తరములు జరుపుకొనుచు 'థియరీ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ ' (అవ కాశ వాదము) అను వాదమును నెలకొల్పిరి.
ప్రాన్సుదేశమున గణిత శాస్త్రమిట్లు అత్యం తాభివృద్ధి గాంచు చుండగా, ఇంగ్లండు దేశములో 'వాల్లిస్‌' (Wallis) అను ఆక్సఫర్డు విశ్వవిద్యాలయ గణితాచార్యుడు లోగడ 'కావలిరీ'చే నిర్మింపబడిన “అతిసూక్ష్మ విషయవాదము" (Theory of infinitesimals) ను వృద్ధిపరచి కలన గణితమున అనేక విషయములను కనుగొనెను. అయినను మనము ప్రస్తుతమున అభ్యసించు కలన గణితము సర్ ఇసాక్ న్యూటన్‌తో (Sir Isaac-Newton)తో (1642-1727) ప్రారంభమైనదనవచ్చును. ఇతడొక గొప్ప మేధావి. ఇతడు కేంబ్రిడ్జ్ విశ్వవిద్యాలయమున గణితశాస్త్రాచార్యుడుగా చాలకాలము పనిచేసెను. ఇతడు కనుగొనిన గొప్ప విషయములలో ముఖ్యమైనది గురుత్వాకర్షణ సూత్రము. దీని సహాయముచే కెప్లర్ కనుగొనిన గ్రహ గమన సూత్రముల నాతడు గణితముచే సాధించెను. ‘ఆకర్షణ సిద్ధాంతము' (Theory of attractions) నకు ఇతడు గట్టి పునాదివైచెను. 'చాక్షుష' శాస్త్రమును (optics) ఇతడు ప్రారంభించెను. ఇతడును, జర్మనీ దేశములోని లూబ్రిటీ (Lubrity) అను రాజనీతిజ్ఞుడును కలిసి ఆధునిక కలన గణితమునకు పునాది నిర్మించిరి. కలన గణితమును 'లీబ్నిట్జ్' కనుగొనెనా? లేక న్యూటన్ కనుగొనెనా? అను వివాదము బహుకాలము చెలరేగినది. 'న్యూటన్' స్వాభావికముగా తాను కనుగొనిన విషయములను ప్రచురింపక గోప్యముగా నుంచుటయు, వీటి ప్రచురణమునకు ముందుగనే 'లీబ్నిట్జ్' కనుగొనిన విషయములు ప్రచురింపబడుటయు ఈ వివాదమునకు దోహద మొసగినవి. ఆధునిక కలన గణిత సంకేతములు “లీబ్నిట్జ్' ప్రవేశ పెట్టినవియే. "న్యూస్ మెథడ్ ఆఫ్ ఫ్లక్షన్స్" అనునది ప్రస్తుతము మనకు సుపరిచితమగు dy/dr మాత్రమే. అది కాక సమీకరణములయొక్క రమారమి మూలములను కనుగొనుటకు న్యూటన్ ఒక పద్ధతిని కనుగొనెను.
లీబ్నిట్జ్ (1646 - 1716) ఇదివరలో చెప్పినట్లు ఒక జర్మను రాజనీతిజ్ఞుడు. రాజనీతియే ఆతని వృత్తి. గణితము, తత్త్వశాస్త్రము ఆతని అభిమాన విషయములు, ఆతనికి చరిత్ర, మతము, భాషాశాస్త్రము, జీవశాస్త్రము, భూగర్భ శాస్త్రము, క్రొత్త విషయములు కనుగొను కళ మున్నగు వాటిలో అభినివేశము కలదు. గణితశాస్త్ర సంకేతములను నిర్మించిన వారిలో లీబ్నిట్జ్ అగ్రగణ్యుడని చెప్పవచ్చును. ఈ విశ్వములోని చలనమునకును మార్పునకును మూలసూత్రమును కనుగొను తత్త్వ జిజ్ఞాసలో అతడు కలనగణితమును కనుగొనెను.
18 వ శతాబ్దములో గణితశాస్త్ర పరిశోధనలు పెక్కులు జరిగినవి. వాటిలో ముఖ్యమయినవి కలన గణితము, దానిసహాయమున ఘటిల్లిన యాంత్రిక శాస్త్రాభివృద్ధియునై యున్నవి. అప్పటివరకును చలనశాస్త్రము, స్థితిశాస్త్రము, ద్రవస్థితి శాస్త్రము, ద్రవ చలన శాస్త్రము, స్థాపత్యము మున్నగువాటిలో క్షేత్ర గణిత పద్ధతులే ఎక్కువగా ఉపయోగింపబడు చుండెడివి. న్యూటన్, లీబ్నిట్జ్ లు నిర్మించిన కలనగణితమును ఈ శాస్త్రములలో ప్రయోగించుటయే 18 వ శతాబ్దిలో జరిగిన గణితశాస్త్ర ప్రగతి. ఆ శతాబ్దిలోని ముఖ్యులగు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు :
1. జాకబ్ బెర్నోలీ (1654-1705) మరియు ఆతని సోదరుడగు జాన్ బెర్నోలీ (1667–1748)
2. ఆయిలర్ (1707–1783)
3. లెగ్రాంజ్ (1736-1813)
4. లెప్లాస్ (1749-1827)
వీరుకాక, చిల్లర గణితశాస్త్రజ్ఞులలో ముఖ్యులు క్లైరో, డి-లాంబర్ట్ మున్నగు ఫ్రెంచి శాస్త్రజ్ఞులు.
స్విట్జర్లాండ్ లోని బాసిల్ (Basle) నగర విశ్వవిద్యాలయము చిరకాలము నుండియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులకు ప్రసిద్ధి కెక్కియుండెను. వీరిలో ముఖ్యులు బెర్నోలీ (Bernoulli) కుటుంబమువారు. 17వ శతాబ్దినుండి ఈనాటివరకును ఈ కుటుంబములో ప్రతితరము నందును గొప్పశాస్త్రజ్ఞు లుద్భవించిరి. వారిలో జాకబ్ బెర్నోలి, జాన్ బెర్నోలీ అనువారలు ప్రథములు. వీరిరువురును ప్రథమమున వైద్యశాస్త్రమును అభ్యసించినను. అనంతరము లీబ్నిట్జ్ పరిశోధనలను గూర్చి విని గణితశాస్త్రము నభ్యసించి, బాసిల్ నగర విశ్వవిద్యాలయములో ఒకరి తర్వాత నొకరు గణితశాస్త్రాచార్యులుగ నియమింపబడిరి. జాకబ్ మొదట లీబ్నిట్జ్‌తో ఉత్తరప్రత్యుత్తరములు జరిపి, ఇరువురు సోదరులును లీబ్నిట్జ్ కలన గణిత పద్ధతికి సంపూర్ణ వికాస మొసగి, ఈ శాస్త్రమున అనేక నూతన విషయములు కనుగొనిరి.
పోలార్ కో అర్డి నేట్స్ యొక్క ప్రయోజనము, కాటినరీ (catenary), లెమ్ని స్కేట్ (Lemniscate), లోగరిథమిక్ సర్పిలము (Logarithmic Spiral) మొదలగు అనేక వక్ర రేఖల ధర్మములను కనుగొనుటయేగాక, 'కాల్క్యులస్ ఆఫ్ వేరియేషన్స్' (Calculus of Variations) లో అనేక సమస్యలను క్షుణ్ణముగా చర్చించి, దత్త పరిధితో గరిష్ఠతమవైశాల్యము గల రేఖ వృత్తమని కనుగొనిరి. ఇట్లే సామాన్యవ్యవకలన సమీకరణములలో వీరు సాధించిన సమీకరణము వీరి పేరుతో ఇప్పటికిని ప్రసిద్ధికెక్కి యున్నది. ఇక వీరు అవకాశశాస్త్రమున కనుగొనిన 'బెర్నోలీ సంఖ్యలు' (Theorem of Bernoulli) మున్నగునవి వీరి కీర్తిపతాకములు. వీరి కుటుంబములోని డేనియల్ బెర్నోలి అను నాతడు మరల బాసిల్ విశ్వవిద్యాలయములో గణితశాస్త్రాచార్య పదవి నాక్రమించి, అణుచలనవాయు వాదమును (Kinetic theory of Gases) స్థాపించెను. ద్రవచలన శాస్త్రములోని 'బెర్నోలి సమీకరణము' ఇతడు సాధించినదే. తన పూర్వికులు సాధారణవ్యవకలన సమీకరణములలో గొప్ప పని చేసి యుండగా, ఇతడు ఆంగికవ్యవకలన సమీకరణములలో (Partial Differential Equations) పరిశోధనలు గావించెను.
18 వ శతాబ్దిలోకెల్ల గొప్ప గణితశాస్త్రజ్ఞుడని చెప్పదగు 'లియోనార్డ్ ఎన్లర్ ' (Leonard Enler, 1707-83) గూడ ఈ బాసిల్ విశ్వవిద్యాలయమునుండియే వచ్చెను. ఇతడు జాన్ బెర్నోలీవద్ద గణితశాస్త్రము నభ్యసించి, కొంతకాలము బెర్లిన్‌లోను, కొంతకాలము సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గులోను నివసించెను. ఈతనికి 1735 లో మొదటి నేత్రమును, 1766 లో రెండవ నేత్రమును నష్టమయ్యెను. అయినను, ఇతని గణితశాస్త్ర పరిశోధనల కేమియు తన్మూలమున ఆటంక మేర్పడలేదు. అసాధారణమగు తన జ్ఞాపకశక్తిచే అత డా శాస్త్రమున ఇదివర కుండిన జ్ఞానమంతటిని క్రోడీకరించి క్రొత్త విషయములను అనేకములను చేర్చి, చిన్నవి, పెద్దవి మొత్తము సుమారు 900 రచనలు గావించెను. గణితశాస్త్రమున ఆతని ముద్ర పడని భాగమే లేదు. (“ఆయిలర్ "అను వ్యాసమును చూడుడు). గణితశాస్త్రముననే గాక, అనువర్తిత గణితశాస్త్రమునను ఆతని పరిశోధనలు అమూల్యములు. నౌకా నిర్మాణశాస్త్రమున, సైన్యపరికర శాస్త్రమున, సంగీతశాస్త్రమున ఆతని సేవ చిరస్మరణీయము. ఆయిలర్ రచించిన గ్రంథములు చదివినవారి నెల్లరను ఆతని నిరంతర సృజనాత్మక శక్తి ఆశ్చర్యచకితులను చేసినది. అతని తర్వాత వచ్చిన గణితశాస్త్రజ్ఞులలో పేరెన్నికగన్నవా రందరును ఆతని గ్రంథములను క్షుణ్ణముగా చదివి ఆతని ప్రభావమునకు లోబడినవారే. ఇది యిట్లుండగా ఆ కాలమున ఫ్రాన్సుదేశమందు అత్యంత ముఖ్యమగు పరిశోధనములు జరిగెను. ఆకాలపు ఫ్రెంచి శాస్త్రజ్ఞులందరి ధ్యేయమును ఒక్కటియే. అది ఏమనగా, న్యూటన్ కనుగొనిన గురుత్వాకర్షణ సిద్ధాంతమును కలనగణిత పద్ధతులచే అభివృద్ధిపరచుటయే . ఈ విశ్వములోని చలనమున కంతటికిని కారణభూతమగు ఒకే ఒక సూత్రమును కనుగొనవలయునని ప్రయత్నించి 'కనిష్ఠతమకార్యసూత్రము' (principle of least action) ను కనుగొనిరి. దీనినే ఆయిలర్ గణితశాస్త్ర పద్ధతిని m v d s కనిష్ఠతమముగా నుండ వలయునని నిర్వచించి, దానిలో గణితశాస్త్రపు పద్ధతిని ప్రవేశ పెట్టెను. ఈ సూత్రమును తరువాతవచ్చిన లెగ్రాంజి (Legrange), హామిల్టన్ (Hamilton) మొదలగు గణితజ్ఞులు పుష్కలముగా ఉపయోగించుకొనిరి. ఆ కాలముననే పురాతన మతభావములను వ్రేళ్ళతో పెకలించి వేసి ఫ్రెంచి విప్లవమునకు దారితీసిన విశ్వవిఖ్యాతమగు ఫ్రెంచి విజ్ఞాన సర్వస్వము రచింపబడెను. ఈ విజ్ఞాన సర్వస్వ నిర్మాతలలో డి లాంబెర్టు (D'Alambert) అను నొక గణితశాజ్ఞుడును కలడు. చలనశాస్త్రములోని డి లాంబెర్టు సిద్ధాంతము (D'Alambert principle) అనునది ఈతడు నిర్మించినదే. ఆంగిక వ్యవకలన సమీకరణములలో ఈతని పేర బరుగు సమీకరణమును ఈతడు సాధించెను. ఇతడు అవకాశశాస్త్రమున గూడ అతిముఖ్యములగు కొన్ని పరిశోధనలు సలిపెను.
ఆ కాలమున ఇంగ్లండు దేశములో చెప్పుకొనదగిన వారు డా. మాయివర్ (Dr. Moiver), స్టర్లింగ్ (Stirling). లాండీ (Landy) మెక్లారిన్ (Maclaurin) అనువారు మాత్రమే. వీరెవ్వరును ఆ కాలమున ఐరోపా భూఖండమున వెలసిన సమకాలిక శాస్త్రజ్ఞులతో పోల్చదగిన వారుకారు. వీ రెల్లరును ప్రాంతీయ దురభిమానముచే తమ న్యూటన్ నిర్మించిన పద్ధతులనే అవలంబించి, అభివృద్ధి నిరోధక ములగు ఆతని సంకేతములనే వాడుచు, అంతకంటెను ప్రబలతరమగు లీబ్నిట్జ్ సంకేతములను పరిహరించి, ఇంగ్లండు దేశమున గణిత శాస్త్రాభివృద్ధికి నిరోధకులైరి. వీరిలో మెక్లారిన్ (Maclaurin) అను ఎడింబరో విశ్వవిద్యాలయ గణితశాస్త్రాచార్యుడు తమ పాత పద్దతులతోడనే ఆకర్షణ శాస్త్రమున కొన్ని ముఖ్య పరిశోధనలు జరిపెను. అతని పేరబరగు 'మెక్లారిన్ శ్రేఢి' అనునది జగత్ప్రసిద్ధము. కాని దీనిలో ఏమియు క్రొత్తదనము లేదు. దానిని లోగడ 'టెయిలర్' అను శాస్త్రజ్ఞుడు కనుగొనియే యుండెను. అయితే ఈ శ్రేఢిని ఆయిలర్ తన వ్యవకలన గణితములో ఉపయోగించునంతవరకు దాని ప్రాముఖ్య మెవ్వరును గుర్తించక పోయిరి.
దాని ప్రాముఖ్యమును గుర్తించినవారిలో ముఖ్యుడు జోసెఫ్ లూయీ లెగ్రాంజ్ (Joseph Louis Lagrange. 1736 - 1813). తాను నిర్మించిన 'ప్రమేయ శాస్త్రము' (Theory of functions) నకు దీనిని అతడు ప్రాతిపదికగా నిర్మించెను. 'లెగ్రాంజి' టూరిన్ నగరములో జన్మించి, 19 వ యేటనే ఆ నగరమున గణితశాస్త్రాచార్య పదవి నాక్రమించెను. ఆయిలర్ సెయింట్ పీటర్స్ బర్గుకు వెళ్ళిపోయిన తర్వాత ఫ్రెడరిక్ ది గ్రేట్ (Frederick the Great) అతనిని బెర్లిన్ నగరమునకు ఆహ్వానింపగా, అచటకుపోయి, ఫ్రెడరిక్ మరణానంతరము వరకు, అతడచ్చటనే యుండి అనంతరము ఫ్రాన్సు దేశమున వివిధ ప్రాంతములలో గణితశాస్త్రాచార్య పదవి నధిష్ఠించెను. 'లెగ్రాంజి' తన ప్రథమ పరిశోధనమందు, విశిష్ట కలన గణితములో Calculus of Variations లోగడ ఆయిలర్ గావించిన పరిశోధనలను గణిత విశ్లేషణ పద్ధతులచే మెరుగొనరించి, అనేక నూతన విషయములను అందు చేర్చుటయేగాక, అదివరకుండిన విషయము నంతయును క్రోడీకరించెను. ఈ విశిష్టకలనమును చలన శాస్త్రమునకు అనువర్తింపజేసి, అదివరకే ఆయిలర్ చే నిర్వచింపబడిన 'కనిష్ఠతమ కార్యసూత్రము' (Principle of least action) నకు గణితపద్ధతి నిర్మించెను. ఇతడు అంకశాస్త్రమునను, సమీకరణ శాస్త్రమునను గావించిన పరిశోధనలు అతి ముఖ్యములు. తనజీవితమందలి ఉత్తరార్ధమును ఇతడు 'విశ్లేషక ప్రమేయశాస్త్రము'(Theory of analytic functons), 'విశ్లేషక యాంత్రిక శాస్త్రము' (Analytic mechanics) అను గ్రంథముల రచనకై వినియోగించెను. వీటిలో రెండవది న్యూటన్ రచించిన “ప్రిన్సిపిక్ మాథిమాటికా" (Principic mathematica) అనుగ్రంథము తర్వాత సుమారు నూరు సంవత్సరములకు రచింపబడి, న్యూటన్ తర్వాత వెలసిన గణితవిశ్లేషణ పద్ధతుల ప్రతిభను సంపూర్ణముగ ప్రదర్శించెను. "లెగ్రాంజి చలనసూత్రము" (Legrange Equations of motion) లని ప్రసిద్ధిబడసిన సూత్రములు ఈ గ్రంథములోనివే. న్యూటన్ యొక్క క్షేత్రగణిత పద్ధతు లంతటితో స్వస్తిచెప్పబడి విశ్లేషణ గణితపద్ధతులు వాడుకలోనికి వచ్చెను. లెగ్రాంజి రచించిన 'విశ్లేషక యాంత్రికశాస్త్రము' విశ్లేషక గణితమునకు అఖండ విజయపతాకము.
18వ శతాబ్ది చివరలో జీవించిన గణిత శాస్త్రజ్ఞులలో చెప్పుకొన దగినవాడు లెప్లాస్ (Leplace 1725-1799) అను ఫ్రెంచి శాస్త్రజ్ఞుడు. ఇతడు నెపోలియన్ వలనము, 18 వ లూయీ వలనను అనేక గౌరవములనుపొంది ఆ కాలపు గొప్ప గణితశాస్త్రవేత్తలలో నొకడుగా పరిగణింపబడెను. అతడు రచించిన “విశ్లేషక అవకాశ శాస్త్రము", "ఖగోళ యాంత్రిక శాస్త్రము", అతి ముఖ్యగ్రంథములు. న్యూటను నుండి అప్పటివరకును పోగైన విజ్ఞానమంతయు ఈ బృహద్గ్రంథములలో క్రోడీకరింపబడినది. దీనిలో రెండవది 5 సంపుటములుగా నున్నది. 'లెప్లాస్ సమీకరణము', 'లెప్లాస్ పరివర్తనము' మున్నగునవి ఈ గ్రంథములలోనివే.
19వ శతాబ్దమున గణితశాస్త్రము సర్వతోముఖాభివృద్ధిగా౦చెను. 18 వ శతాబ్ది చివరిభాగమున నున్న లెగ్రాంజ్, లెప్లాస్, ఆయిలర్ మున్నగు మహా మేధావులు తమ పరిశోధనా ఫలితముగ గణితశాస్త్రమున నిక మిగిలినదేదియు లేదనిపించినారు. ఫ్రెంచి విప్లవమునకు కారణభూతములగు మానవ మానసిక ప్రవృత్తులు, ముఖ్యముగా పురాతన విజ్ఞానముతోడి తెగతెంపులు విజ్ఞాన విషయమున నూతన దృక్పథములు మున్నగునవి, ఈ శాస్త్రమునను ప్రవేశించి క్రొత్తమార్గము లనేకము లన్వేషింపబడెను. ఇదివరలో గణితము, యంత్ర శాస్త్రమునకును, జ్యోతిశ్శాస్త్రమునకును అనుబంధరూపముగా నుండెను. ఆ శాస్త్రములలో ప్రగతికి వలయు గణితపరిశోధనములే జరుగుచుండెను. ఇప్పటినుండి ఇట్లుగాక గణితశాస్త్రము గణితశాస్త్రము కొరకే యను భావము గాఢముగా నాటుకొనిపోయి, పూర్వపు నియమములను, నిబంధనములను అన్నిటిని త్రెంచుకొని మహాప్రవాహము వలె వెల్లివిరిసినది. పూర్వపు గణితజ్ఞు లెల్లరును యంత్ర శాస్త్రమునను, జ్యోతిశ్శాస్త్రమునను పరిశోధనలు జరిపిన వారే. ఇప్పటినుండి ఇట్లుగాక, ప్రత్యేక శాస్త్రశాఖలలో అత్యున్నత ప్రవీణులు (Specialists)బయలుదేరిరి. పూర్వ గణితజ్ఞులవలె అన్ని శాఖలలోను సమానప్రావీణ్యము గలవారు ఈ శతాబ్దిలో ప్రపంచ మేధావులలో నత్యుత్తమ శ్రేణికి చెందగలవారు నలుగురైదుగురు మాత్రమే కనిపించుచున్నారు. అట్టి మహామేధావులలో మొదట చెప్పు కొనదగినవాడు కార్ల్ ఫ్రెడ్రిక్ గావూస్ (Carl Friedrich Gauss-1777-1855).
గావూస్, బ్రన్స్‌విక్ అను జర్మను పట్టణములో జన్మించి, గాటింజిలోను, హెల్ముస్టాట్ (Helmstadt) లోను విద్య నభ్యసించి 1807 మొదలు 1855 వరకు (తన జీవితాంతమువరకు) గాటింజ్‌న్ విశ్వవిద్యాలయమున కనుబంధరూపమున నున్న ఖగోళశాస్త్ర పరిశోధనాలయ సంచాలకుడుగా పనిచేసెను. శుద్ధగణితమునను, అనువర్తిత గణితమునను ఈతనికి ఉండు ప్రావీణ్యము, తరచు లాటిను భాషను వాడుచుండుట మున్నగువానిచే నీతని సనాతన తత్త్వాభిలాష సూచితమైనను ఈతని పరిశోధనల యందెల్లెడల నూతనయుగపు సరిక్రొత్త భావముల శక్తి సామర్థ్యములు ప్రస్ఫుటము లగుచున్నవి. ఈతడు చిన్నతనమునుండియే యనేక క్రొత్తవిషయములను గనుగొన మొదలిడెను. ఆధునిక అంకశాస్త్రము ఈతనినుండియే మొదలిడిన దనవచ్చును. దీనిలో నీతడు పరస్పరవర్గ సిద్ధాంతమును (Law of quadratic reciprocity) కనుగొనెను. బీజసమీకరణ మూలముల అస్తిత్వమును ఈతడే ప్రథమమున రుజువు చేసెను. క్లిష్ట సంఖ్యలు (Complex numbers), వాటి గుణములు, వాటి ప్రమేయము, మొదలగువాటిలో ఆతని ప్రావీణ్యము అనల్పము. "అతి జ్యామితిశ్రేణి” (Hypergeometric series) నాతడు కనుగొని, దాని సంభిన్నతను (convergence), దానిసాధన (Solution) గుణములను అతిక్షుణ్ణముగ చర్చించెను. ఇదిగాక దీర్ఘవృత్త సంకలన విలోమక్రియచే (By the process of inversion of elliptic integrals) ద్విధాపర్యాదిక ప్రమేయములు (Doubly periodic functions) ఉద్భవించునని యాతడు గ్రహించెను. అయూక్లిడ జ్యామితి (Non Euclidian Geometry) యొక్క మూలభావములు ఆతనికి తెలియనివి కావు. చతుష్ఫలములు (Quarternions) ఆత డెరుగును. ఇక అనువర్తిత గణితశాస్త్రములో నాతని కింతయే సామర్థ్యము కలదు. క్రొత్తగా కనుగొనబడిన సీరీసు (series) అను గ్రహకము (Planetoid) యొక్క చలనమును సంపూర్ణముగ లెక్క వేసి కనుగొనెను. భూతల విజ్ఞానకృషిలో (Geodesy) ఆతడు కనుగొనిన తలవక్రతా (Curvature of surfaces) గణనవిధానము అంద రెరిగినదే. అయస్కాంతశాస్త్రములో ఆతని పరిశోధనలు శాశ్వతకీర్తి నార్జించినవి విద్యుచ్ఛక్తి సహాయముతో టెలిగ్రాఫును కనుగొనవలెనని యీతడు ప్రయత్నించెను. ఆకర్షణ శాస్త్రములో ఆతని పరిశోధనలు తరువాత 'పొటెన్షియల్ థియరీ' (Potential Theory) కి ప్రాతిపదిక యాయెను. ఇతడు ప్రపంచ మేధావులలో నొకడుగా లెక్కింపదగినవాడు.
జర్మనీ దేశములో ఇట్లు గావూస్ పరిశోధనలు సాగిపోవుచుండగా, ఫ్రాన్సు దేశమునను గొప్ప గణితశాస్త్ర ప్రగతి జరిగెను. గావూస్ స్పృశించిన శాఖ లన్నిటి యందును లెజాండర్ (Lezandre- 1752-1838) పరిశోధనలు జరిపెను. ఈతనిచే నిర్మింపబడిన లెజాండర్ ప్రమేయములును ప్రసిద్ధములే. ఆకాలమున ఫ్రాన్సు దేశములో నుండిన బహుసాంకేతిక (Polytechnic) పాఠశాలలలో గొప్ప గణితజ్ఞు లుండిరి. అట్టి వారిలో ముఖ్యుడు మాంజె (Monge) అను గణితజ్ఞుడు. ఈతని కృషిఫలితముగ ఫ్రాన్సుదేశమున అనేకులు గణితజ్ఞు లుద్భవించిరి. వీరందరికిని క్షేత్ర గణితము అభిమాన పాత్రము. ఈ కాలమున పాఠశాలలలో బోధన కుపయోగించు పాఠ్యపుస్తకము లనేకములు వెలసినవి. మాంజె యొక్క ప్రభావముచే ఆతని శిష్యులనేకులు జ్యామితి శాస్త్రమున అత్యంత ప్రావీణ్యమును గడించి దానిలో చాలా ముఖ్యపరిశోధనలను గావించి యీ శాస్త్రమును ఫ్రెంచి విశ్వవిద్యాలయము లన్నిటియందును అత్యంత వ్యాప్తిలోనికి తెచ్చిరి. అట్టి వారిలో ముఖ్యుడు విక్టరు పాన్సిలెట్ (Victor Poncilet). ఈతడు విక్షేపక జ్యామితి (Projective Geometry) శాస్త్రమునకు సృష్టికర్త. అప్పటి ఫ్రెంచి విద్యాలయములలో లెగ్రాంజ్ రచించిన విశ్లేషక యంత్రశాస్త్రము అతిక్షుణ్ణముగా పఠింప బడుచుండెను. ఆ కాలపు మహామేధావులలో పేరెన్నిక గన్నవారు లెగ్రాంజ్, మాంజే. తరువాత చెప్పుకొన దగినవారు జోసెఫ్ ఫోరిన్, అగస్టిన్ కాంచి (Joseph Fourin, Augustin Canchy) అను వారు. ఫోరియర్ (Fourior) రచించిన ఉష్ణశాస్త్రములో మొట్టమొదట ఫోరియర్ శ్రేఢి చర్చింపబడెను. ఈ కాలమున ఈ ఫోరి యర్ శ్రేఢి కున్న ప్రాముఖ్యము గణితశాస్త్రజ్ఞు లంద రెరింగినదే
కోషీ గణిత విశ్లేషణమున సాధించిన ఘనవిజయములు, కాంతి శాస్త్రమునకును, యాంత్రిక శాస్త్రమునకును అతడు కావించిన సేవను అవి కప్పివేసినవి. స్థితిస్థాపక శాస్త్రమున కీతడు మూలపురుషుడు. సంభిన్నతాశాస్త్రమునను, క్లిష్టసంఖ్యలప్రమేయములలో నాతడు కావించిన పరిశోధనలును, క నుగొనిన క్రొత్తవిషయములును నేటికిని ఆతని కీర్తిపతాకలు. ఆధునిక గణితములో గల కర్కశ హేతువాదపద్ధతి కాతడు మూలపురుషుడు. ఈతని పేరు గణితశాస్త్రమున మాటిమాటికి ఆవృత్తమగుచుండును.
ఇట్లుండగా 1830 ప్రాంతములో ఫ్రాన్సుదేశములో, గణితశాస్త్రాకాశపథమున ఒక మహోజ్వలతార ఆకస్మికముగా కనుపించి అంతలో ఉల్కాపాతమువలె నదృశ్యమయ్యెను. ఆతడే గాల్వా. ఈతడు 21 వ సంవత్సరముననే ఒక ప్రేమకలాపమున దగుల్కొని, ద్వంద్వయుద్ధమున ప్రత్యర్థిచే నిహతుడయ్యెను. ఈతడు నిర్మించిన“సమూహవాదము” (Theory of Groups) ఆధునిక బీజగణితమునకును, ఆధునిక క్షేత్రగణితమునకును, అనంత రత్న భాండారపు గదితలుపులు తీయు తాళపుచెవివంటిది. ఇంతవరకును పరస్పర సంబంధములేక విడివిడిగా అభివృద్ధి కాంచుచుండిన అనేక గణితశాస్త్ర శాఖలు, దీనిచే ఏక సూత్రమున కట్టివేయబడినవి. దీనితో, కోణముల త్రిధావిభజనము, ఘనమును రెట్టించుట, బీజసమీకరణముల సాధనము మున్నగు ప్రాచీన సమస్యలు విడిపోవుటయేగాక, బహు శాఖలలోని గణిత సూత్రములకు ఏక వాక్యత లభించెను. ఇది 19వ శతాబ్దిలోని గొప్ప గణిత నిర్మాణములలో నొకటి. ఇదిగాక ఈతనికి బీజ ప్రమేయముల సంకలన విషయమునను సరికొత్తభావము లుండెను. ఇవియే కాలక్రమమున 'అబెల్ ప్రమేయములు'గా పరిణమించినవి. ఈతడే చిరకాలము జీవించి యుండినచో, గణితశాస్త్ర మేవిధముగా వృద్ధిపొందెడిదో చెప్పుట కష్టము.
ఇంచుమించు ఈతనికి సమకాలికుడుగనే, నార్వేదేశమున అబెల్ (Abel) అను నొక మహా మేధావి యుద్భవించి 27వ సంవత్సరముననే క్షయరోగ పీడితుడై మరణించెను. ఈతడు అపరిమిత శ్రేఢుల సంభిన్నతను సుస్థిరమగు పునాదులపై నిలిపి, ఆ విషయమున పెక్కు క్రొత్త సిద్ధాంతములను కనుగొనెను. ఐదవఘాత బీజ సమీకరణముల మూలములను ఘాత మూలముల సహాయమున సాధించుట యసంభవమని రుజువుచేసి, చిరకాలము నుండియు గణితశాస్త్రజ్ఞులను ఆందోళన పెట్టుచుండిన సమస్యకు అంతిమ పరిష్కారము చేసెను. దీర్ఘ వృత్త సంకల్యము (Elliptic Integrates) లలో ఆతడు గొప్ప పరిశోధనలను గావించి యనేక విషయములను గనుకొనెను. ద్విధాపర్యదిక ప్రమేయము లాతనితోనే మొదలయినవని చెప్పవచ్చును.
1829 లో, అనగా అబెల్ మరణించిన సంవత్సరముననే కోనింగ్స్‌బర్గులో గణితాచార్యుడుగా నున్న జాకోబి (Jacobi) అనునాతడు దీర్ఘ వృత్త సంకల్యముల విషయికమగు తన క్రొత్తవాదమును ప్రచురించెను. ఈ దీర్ఘ వృత్తప్రమేయము లాతడు నిర్మించిన తీటా ప్రమేయముల (theta functions) పై నాధారపడి యుండును. ఇదిగాక జాకోబీ ప్రధూపకము (Determinants) లోను, వ్యవకలన సమీకరణములలోను, చలన శాస్త్రమునను అతిముఖ్య పరిశోధనలు గావించెను. చలన శాస్త్రమున నీతనిపరిశోధన(William Rowan Hamilton) అను ఐర్లండుదేశ శాస్త్రజ్ఞుని అతిముఖ్య పరిశోధన యగు 'హామిల్టన్ జాకోబి' సమీకరణమునకు దారితీసినది. ఆధునిక సాపేక్ష సిద్ధాంతమునను, ప్రమాణ వాదమునను దీనిప్రాముఖ్యము శాస్త్రజ్ఞులంద రెరింగినదే. ఈ కాలముననే డిరిషిలే (Dirichlet) అను గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు, ఫోరియర్ శ్రేఢి సంభిన్నతా విషయమునను, అంక శాస్త్రమునను, వై శేషిక కలన గణితమునను, అనేక నూతన విషయములను కనుగొనెను. అతనిపేర బరగిన డిరిషిలే శ్రేఢి (Dirichlet's series) అతని శాశ్వతకీర్తి చిహ్నము.
ఆధునిక గణితశాస్త్రమును తీర్చిదిద్దిన వారిలో ముఖ్యుడు రీమాన్ (Riemann 1826-1866). ఈతడు గాటింజ్ విశ్వవిద్యాలయములో గణితాచార్యుడుగ పనిచేసి అస్వస్థశరీరుడగుటచే నలుబది సంవత్సరముల వయసుననే మరణించెను. ఈతడు రచించిన విమర్శక వ్యాస ముల సంఖ్య చాలా తక్కువయే యైనను దానిలో ప్రతి ఒకటియు, ఆధునిక గణితమున క్రొత్తక్రొత్త మార్గముల నేర్పరచి, ఆ శాస్త్రముయొక్క ఉత్తరోత్తరాభివృద్ధికి దారితీసినవి. క్లిష్టసంఖ్యా ప్రమేయములలోని కోషీ-రీమాన్ వ్యవకలన సమీకరణములు ఆతని డాక్ట రేట్ వ్యాసములోనివి. సదృశచిత్రణము (Conformal mapping) లోని రీమాన్ సిద్ధాంతమును అతడప్పుడు కనుగొనినదే. దానిమూలమున నాతడు రీమాన్ తలముల నిర్వచించగలిగి స్థలవాదము (Topology) తో దాని స్వభావ స్వరూపములను చర్చింపగలిగెను. సంకలనప్రక్రియను ఆతడు గట్టిపునాదులపై నిర్మించి, దానిని ఫోరియర్ శ్రేఢికి వర్తింపజేసి, దానిచే ప్రమేయముల స్వభావములను ఆధునిక పద్ధతిపై నిర్మించెను. త్రికోణమితి శ్రేఢుల పరిశోధనా ఫలితముగ సంకలన ప్రక్రియ కాతడు క్రొత్త నిర్వచనము నొసగి దానికి సుస్థిరమగు శాస్త్రీయపద్ధతిని నిర్మించెను. ఈ సందర్భముననే ఆతడు వ్యవకలన రహితమగు అవిచ్ఛిన్న రేఖను నిర్మించగలిగెను. ఈతడు క్షేత్రమితి శాస్త్రమునకు చేసిన సేవ యనల్పము. 1854 లో నాతడు “రీమాన్ క్షేత్రమితి" యను ప్రత్యేక క్షేత్రగణితమును నిర్మించెను. దాని ప్రయోజనము ఆధునిక సాపేక్షతావాదమున నంద రెరింగినదే. దీనిచే నదివరకుండిన క్షేత్రమితి శాస్త్రములోని ప్రత్యేకశాఖ లన్నియును ఏక సూత్రమున బంధింపబడుట యేగాక ఇది క్రొత్త క్రొత్త శాఖలనుగూడ లేవదీసెను. ఈతడు అవిభాజ్యాంకముల వాదమునను క్రొత్త విషయములను కనుగొనెను.
కార్ల్ వియెర్ స్ట్రాస్ (1875-1897) అను నాతడు బెర్లిన్ విశ్వ విద్యాలయములో గణితాచార్యుడుగ నుండెను. ఈతడు క్లిష్టసంఖ్యా ప్రమేయముల అపరిమితశ్రేఢుల సంభిన్నతా విషయమునను, అపరిమిత లబ్ధముల విషయమునను, వై శేషిక కలనగణితమునను ముఖ్యపరిశోధన గావించెను. అన్నిటికన్నను ముఖ్యమైనది యీతడు గణితశాస్త్రమున కొసగిన హేతువాదకర్కశత్వము. గణితములోని ప్రతి శాఖయును సక్రమమును, నిర్దాక్షిణ్యమును అగు హేతువాద పద్ధతిపై నిర్మించుట యీతని నుండియే మొదలైనదని చెప్పవచ్చును. ఈ విధముగనే బెర్లిన్ విశ్వవిద్యాలయములో పనిచేసిన గణితశాస్త్రజ్ఞు లందరును కర్కశహేతువాదమున పేరుబడసినవారే. వారిలో ముఖ్యులు, కుమ్మర్, క్రోనీకర్, డెడికిండ్, కాంటర్ (Kummer, Kronecker, Dedikind, Cantor) మొదలగువారు. వీరిలో కుమ్మర్ అను నాతడు "ఆదర్శసంఖ్య" లను నిర్వచించి, వాని గుణములను కనుగొని, వాని మూలమున క్లిష్టసంఖ్యల ఏకైక కారణాంక విభాజన సూత్రమును రుజువుచేసెను. క్రోనీకర్ అను నాతడు సంఖ్యాశాస్త్రమున చాలావిషయములను కనుగొనెను. డెడికిండ్ నిర్వచించిన సత్యసంఖ్యల వివరణమును అంద రెరిగినదే. జార్జి కాంటర్ (George Cantor) కరణ్యంకముల వాదమున అతిముఖ్య పరిశోధనలను జేయుటయేగాక, సముదాయ సిద్ధాంతము (Theory of aggregates) నకు మూలపురుషు డాయెను. అధిపరిమిత (Transfinite) సంఖ్యలను ఆతడు కనుగొని వాని స్వరూప స్వభావములను చర్చించి వాటి విషయమున నొక ప్రత్యేక వాదమునే లేవదీసెను.
గణితవిశ్లేషణమును, బీజగణితమును ఈ విధముగా అభివృద్ధిచెందుచుండగా, క్షేత్రగణితము కూడ చెప్పనలవి గాని ప్రగతిని సాధించినది మాంజే శిష్యుడగు పొన్సిలే (Poncelet) స్థాపించిన సంయోగ (Synthetic) క్షేత్ర గణితము క్రమముగా వృద్ధినొంది విక్షేపక క్షేత్రగణితముగా మారెను. ఈ క్షేత్రగణితమున పలువురు ఫ్రెంచి శాస్త్రజ్ఞులును, జర్మను శాస్త్రజ్ఞులును పరిశోధనలు జరిపిరి. అట్టివారిలో ముఖ్యుడు జాకొబు స్టీనర్ (Jacob Steiner-1796 - 1863). అపోలోనియస్ అను గ్రీకు క్షేత్ర గణితజ్ఞుని తర్వాత ఇంతటి క్షేత్ర గణితజ్ఞుని ఈ ప్రపంచము చూడలేదనియే చెప్పవచ్చును. ఆతని పరిశోధనల నన్నిటిని ఇట ఏకరువు పెట్టుటకు తావులేదు, ఈ కాలముననే లోబాచెవిస్కీ (Lobachevsky-1793 - 1856) అను రష్యన్ శాస్త్రజ్ఞుడును, బోల్యాయ్(Bolyai) అను హంగరీదేశస్థుడును వేర్వేరుగా ఆయూక్లిడజ్యామితిని కనుగొనిరి. ఇది ఇట్లుండగా గ్రాస్మన్ (Grassmann)అను జర్మను శాస్త్రజ్ఞుడు 'ఎన్' పరిమాణముగల (n-dimentional) జ్యామితిని నిర్మించెను. ఈతని కాలమున ఇంగ్లండు దేశమున ఆర్థర్ కెలే (Arthur Cayley - 1821 - 1895) అను శాస్త్రజ్ఞుడు ఈ జ్యామితిని చాలా వృద్ధిపరచెను గ్రీన్ (Green) అను శాస్త్రజ్ఞుడు విద్యుత్తు, అయస్కాంత శాస్త్రములను గణితశాస్త్రమును ఉపయోగించి క్రొత్తవిషయముల గనుగొనెను. దీనితో ననేకులు అనువర్తిత గణితశాస్త్రమున పరిశోధనలను మొదలిడిరి. హామిల్టన్ (Hamilton 1805 - 1865) అనునాతడు చతుష్ఫలములను (Quarternions) కనుగొనెను.
ఇట్లు 1870 నాటికి గణితశాస్త్రము అత్యద్భుతముగ వృద్ధిజెంది, ఎంతగొప్పవారైనను, దాని కొన్నిశాఖలను మాత్రమే అధ్యయనము చేయగలిగి యుండిరి. ఐనను ఈ గణితశాస్త్రములోని వివిధశాఖల నన్నిటిని ఏకసూత్రమున బంధింపవలయునను ప్రయత్నము జరుగుచునే యుండెను. 18 వ శతాబ్దిలో నిట్టి ప్రయత్నము జరిగి, లెగ్రాంజ్, లెప్లాస్ మున్నగువారు దీనిని కొంతవరకు సాధించిరి. ఇక 19 వ శతాబ్దిలో దీనిని సాధించ సమకట్టి చాలవరకు కృతకృత్యులైనవారు ఫెలిక్సు క్లీన్ (Felix Klein—–1840-1925) అను జర్మనుశాస్త్రజ్ఞుడు, సోఫస్ లీ (Sophus Lie – 1842-1899) అను ఫ్రెంచిశాస్త్రజ్ఞుడు వీరిరువురును, రీమాన్ భావములచే ప్రభావితులైన వారే. ఇరువురును ఏకీకరణసూత్రము కనుగొన ప్రయత్నించినవారే. ఇట్టి ఏకీకరణసూత్రము వారికి గాల్వా నిర్మించిన “సమూహవాదము" న దొరకినది. ఫెలిక్సు క్లీన్ "పరిమిత సమూహముల (Finite Groups)" ను, లీ అనువాడు అపరిమిత, అవిచ్ఛిన్న సమూహములను చేపట్టెను. జ్యామితిశాస్త్రములోని వివిధశాఖలన్నియు, ఒకానొక పరివర్తన సమూహముయొక్క (Transformation Groups) సంకోచవ్యాకోచములచే నేర్పడునని క్లీన్ రుజువు చేసెను. అయూక్లిడజ్యామితి, కైలే (Cayley) చే నిర్మింపబడిన మిత్రక (Metric) సహాయముచే నేర్పడు విక్షేపక (Projection) జ్యామితి యని రుజువు చేసెను. క్లీన్ శిష్యులు కొందరు ఈ సమూహ వాదమును వ్యవకలన సమీకరణములకును. దీర్ఘవృత్తప్రమేయముల కును అనువర్తింపజేసిరి. ఇది ఇట్లుండగా పారిస్ నగరములో సోఫస్ లీ 'స్పర్శీయ పరివర్తన సమూహము'ను కనుగొని దానిచే హామిల్టన్ నిర్మించిన చలన శాస్త్రమంతయు ఈ సమూహవాదములోని అంతర్భాగమని రుజువు చేసెను. ఈ సూత్రముచే, చలనశాస్త్రమునకును, జ్యామితిశాస్త్రమునకును, వ్యవకలన సమీకరణములకును ఏకసూత్ర మేర్పడినది.
ఇట్లు జర్మనుదేశమును, ఫ్రాంసుదేశమును, ఒకదానితో నొకటి పోటీపడి గణితశాస్త్రమును అత్యంతాభివృద్ధి నొందించినవి. జర్మనుదేశములో వీన్సుట్రాస్ (Weinstrass)కు ప్రతిగా ఫ్రాంసుదేశమున హర్‌మైటు (Hormite) అను శాస్త్రజ్ఞుడును, క్లీన్‌కు పోటీగా దర్బాన్ (Darboun) అను శాస్త్రజ్ఞుడును, హెల్బర్టు (Helburt)కు పోటీగా హడమార్డు (Hadamard) అను శాస్త్రజ్ఞుడును గణితశాస్త్రమున కత్యంత సేవచేసిరి.
19 వ శతాబ్దపు రెండవభాగములోని ఫ్రెంచిశాస్త్రజ్ఞులలో అగ్రగణ్యుడు హెన్రి పాయిన్ కేర్ (Henri Poincare-1854-1912) అను నాతడు. గణితశాస్త్రములో ఈతడు స్పృశించని శాఖ లేదు. స్పృశించిన ప్రతిశాఖ యందును అత్యద్భుత పరిశోధనలను జరుపని శాఖ లేదు. ఇతనికి శుద్ధగణితమునను, అనువర్తి తగణితమునను సమాన ప్రతిభావ్యుత్పత్తు లుండి ప్రపంచ మేధావులలో నొకడుగా లెక్కింపదగినవాడు. ఈతని పరిశోధనలను అన్నిటిని ఇట ఏకరువు పెట్టుటకు తావులేదు. ఫ్రాంసు, ఇంగ్లండు, జర్మనీ దేశములలోనేగాక 19 వ శతాబ్ది చివరిభాగములో ఇటలీ దేశమునను గణితశాస్త్రము వృద్ధిచెందెను. రిక్కీ (Ricci), లెవి-సివెటా (Levi-Civeta) మొదలగు ఇటలీ దేశ శాస్త్రజ్ఞులును, రీమాన్ భావములచే ప్రభావితులై, పరమ వ్యవకలన గణితము (Absolute Differential Calculus) నకు మూలపురుషులైరి.
ఇట్లు 19 వ శతాబ్ది చివరకి గణితశాస్త్రము అత్యంతాభివృద్ధి గాంచెను. ఇక నీ ఇరువదవ శతాబ్దిలోని గణితశాస్త్ర ప్రగతి ఇంతింత యనరాదు. శుద్ధగణితమునను, అనువర్తితగణితమునను అనేక ప్రత్యేకశాఖ లేర్పడి ప్రతిదానియందును క్రొత్తక్రొత్త విషయములను కనుగొనుటకై శాస్త్రజ్ఞులు అహరహమును కృషిచేయు చేయుచున్నారు. వీరి కృషిలో, సర్వకాలము నిలుచున దేదియో, త్వరలో నశించునదేదియో చెప్పుట ఇప్పుడే కష్టము. దానిని కాలమే నిర్ణయించగలదు.
బే. వి.