సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/మూడవ సంపుటము/గణితశాస్త్రము
గణితశాస్త్రము
సంఖ్యలు, సాంకేతికములు, పరిమాణములు వీని మధ్య సహేతుకముగా వ్యక్తీకరింపబడిన అనేక విజ్ఞాన విషయ విభాగములకు గణితశాస్త్రమను పదము సాధారణముగా వర్తించును. గణితమునకు చెందిన విషయ విశేషమును ఈ క్రింది భాగములుగా విభజింపవచ్చును.
1. అంకగణితము : G సామాన్య సంఖ్యలకు లేక ధనాత్మక పూర్ణాంకములకు చెందిన గణిత సిద్ధాంతము అంకగణిత మనబడును. ఇది సంకలనమునకు సంబంధించిన వ్యత్యయ సూత్రము (Commutative law) వంటి కొన్ని నిర్దిష్ట సూత్రములపై ఆధారపడియుండును.
2. బీజగణితము :
దీనిని రెండు భాగములుగా విభజింపవచ్చును.
(1) ప్రాచీన బీజగణితము : గణితశాస్త్రముయొక్క ఈ విభాగము సంఖ్యలయొక్క సంబంధములను, గుణములను గూర్చి సామాన్య సంకేతముల సహాయమున చర్చించును. ఒక దీర్ఘ చతురస్రముయొక్క వైశాల్యము, దాని భూమి యొక్కయు, ఎత్తు యొక్కయు, దైర్ఘ్య పరిమాణముల లబ్ధమునకు సమానమనుటను, సంకేత పదములతో A =bxh అని వ్రాయనగును. ఇచట, A వైశాల్యము యొక్క చదరపు పరిమాణముల సంఖ్యను, b, h లు భూమి, ఎత్తుల యొక్క దైర్ఘ్య పరిమాణముల సంఖ్యలను దెల్పును. ఇట్లే అంకగణిత సమస్యలు బీజగణిత సంకేతములతో కూర్చబడినపుడు చాల సులభమగును.
(2) నవీన బీజగణితము : నవీన బీజగణితముయొక్క విషయ విశేషము - సముదాయములు, వలయములు, క్షేత్రములు, దిక్సహిత – అంతరాళములు (Vector Spaces) మున్నగు నిరాకార విధానముల (abstract systems) కు చెందిన సిద్ధాంత ధర్మములయొక్క అనుమేయముగా నున్నది. ఉదా. గుణనక్రియాసూత్రము నిర్వచింపబడిన ఒక ప్రధానాంశ సమూహము క్రింది స్వయం సిద్ధాంతములను సమన్వయపరచిన 'G' అను సముదాయమనబడును. 'G' కి సంబంధించిన A, B అను ప్రధానాంశముల ప్రతి జంటకును, G యొక్క C అను ఏకైక ప్రధానాంశముండి, C = AB అని A, B, ల యొక్క లబ్ధముగా వ్రాయనగును.
(1) సంవరణము (closure) : G కి సంబంధించిన A, B అను మూలకాంశములయొక్క ప్రతి జంటకు 'C' అను ఒక ఏకైక (unique) మూలకాంశము ‘G' కి సంబంధించి యుండును. అది C = AB అని వ్రాయబడి, A, B, ల గుణన లబ్ధమని గూడ పిలువబడును.
(2) సంసర్గ సూత్రము (Associative law) : A, B, C అనునవి Gకి సంబంధించిన ఏవేని మూడు మూలకాం శములైనచో, (AB) C=A (BC) అని, ఏ పార్శ్వమునైనను ABC చే చూపనగును. 'G' అనునది వ్యక్తము కానవసరము లేదు.
(3) పరిమాణ మూలకాంశము (Unit Element) : A అను G యొక్క ప్రతి మూలకాంశమునకు AI = IA = A అగునట్లు, I అనబడు పరిమాణ లేక సం కేత మూలకాంశమును G కలిగియుండవలయును.
(4) విలోమ మూలకాంశము (Inverse Element) : G యొక్క A అను ప్రతిమూలకాంశమునకు సంబంధించి నట్టి A అను ఒక మూలకాంశము G లో ఉండవలయును. అపుడు AAÔ'=A-1A = 1 అగును.
3. రేఖాగణితము :
సమతలమందు గాని, అంతరాళమందు గాని ఉండు బిందువులు, రేఖలు, కోణములు, ఉపరితలములు మున్నగు ఆకృతుల యొక్క ధర్మములను గూర్చి ఈ గణితభాగము చర్చించును. ఇది ఇంకను అనేక విభాగములుగా విభజింప బడును.
(అ) స్వయంసిద్ధ రేఖాగణితము : ఈ పేరు యూక్లిడు (క్రీ. పూ. 300) యొక్క మూల సిద్ధాంతముల నుండి బయలుదేరెను. ఈ రేఖాగణిత విభాగము ఉపపత్తి రహితముగనే సత్యములుగా అంగీకరింపబడునట్టి స్వతః సిద్ధ ప్రమాణములు లేక స్వీకృత ప్రమాణములపై (postulates) ఆధారపడియున్నది. ఉదా : సమాంతర స్వయం సిద్ధము అనునది (Playfair's Axiom) “ఒక దత్తరేఖ మీద లేనటువంటి దత్తబిందువు గుండా ఆ దత్త రేఖకు ఒకే ఒక సమాంతర రేఖను గీయవీలగును" అని తెలుపును. స్వయం సిద్దముల యొక్కయు, కొన్ని నిశ్చిత నిర్వచనముల యొక్కయు సహాయమున త్రిభుజములు, సమాంతర చతుర్భుజములు మున్నగు ఆకృతులయొక్క ధర్మ ములు అనేకములు నిష్పన్నములగుచున్నవి. ఒక త్రిభుజము మూడు కోణముల యొక్క మొత్తము 180° లకు సమానమని చూపబడెను.
(ఆ) వైశ్లేషిక రేఖాగణితము (Analytic Geometry) : సంఖ్యా సంతనన ధర్మము (number continuum) యొక్క భావన (concept) ను ఉపయోగించుచు బీజగణిత సంకేతముల సహాయమున అభ్యసింపబడు రేఖాగణితము వైశ్లేషిక రేఖాగణిత మనబడును. బీజగణిత సంకేతములు రేఖాగణిత విద్యను సమీకరణ విద్యగా సులభతరము చేయును. అక్ష రేఖలను (co-ordinates) ప్రవేశపెట్టుటయే వైశ్లేషిక రేఖా గణితము యొక్క ప్రధానోద్దేశము. అనగా ఒక రేఖాగణితమునకు చెందిన ఆకృతికి సంఖ్యలను అనుషక్తమొనర్చి (attach) ఆ యాకృతిని పూర్తిగా వివరించుట. ఉదా : ఒక సమతలమందు ఒకదాని కొకటి లంబముగా నుండు రెండు స్థిర రేఖల వెంబడి కొలువబడు x, y అను రెండు సంఖ్యలచే ఒక బిందువును ఆ సమతలమందు గుర్తించుదుము. ఈ లంబరేఖలు 'కార్టీసియన్ సమకోణ అక్షములు 'అనబడును. మూలబిందువు (origin) అనబడు ప్రారంభ బిందువు ఈ లంబరేఖల యొక్క ఖండన బిందువుగా గ్రహింపబడును. (a, b) అను బిందువు కేంద్రముగను, r వ్యాసార్ధముగను కల వృత్తముయొక్క పరిధి మీద నుండు ప్రతి బిందువుయొక్క అక్ష నిరూపకములు ఈ క్రింది సమీకరణమునకు అనుగుణముగ నుండును.
(x-a)2 +(y-b)2 = r2
కనుక దీనిని వృత్తమును నిరూపించు సమీకరణముగా గ్రహింపవచ్చును. ఇదేవిధముగా ఒక సరళ రేఖమీద నుండు ఏ బిందువైనను ఈ క్రింది ప్రథమ పరిమాణపు సమీకరణమును అనుసరించియుండును.
ax+by+c=0
(ఇ) విక్షేపక రేఖాగణితము(Projective Geometry): రేఖాగణితముయొక్క ఈ విభాగము విశేపము (projection) వల్ల కలుగు రేఖాగణితపు స్థిరధర్మములను గూర్చి చర్చించును. ఉదా : చిత్రకారునిచే తయారుచేయబడిన చిత్తరువు (image) ను, చిత్రకారుని కంటియొద్ద విక్షేవ కేంద్ర ముండునట్లు, కాన్వాస్‌ వంటి చిత్రఫలకములోనికి చొచ్చుకొని యుండు నిజరూపముయొక్క విక్షేప మని భావింపవచ్చును. ఈ విధానమందు చిత్రింపబడు పలురకములగు వస్తువులయొక్క సాపేక్షిక స్థితుల ననుసరించి పొడవులను, కోణములను అనివార్యముగా మార్పుచేయ వలసియుండును. అయినప్పటికిని నిజరూపముయొక్క రేఖాత్మక మగు ఆకృతి (Geometrical structure) మాత్రము, విక్షేపములో స్థిరముగా నిలచియుండు రేఖాగణిత ధర్మములను బట్టియే ఇంకను గుర్తించబడు చుండును. ఒక సరళ రేఖలోని బిందువులకు సంబంధించిన విచిత్రమగు విక్షేపధర్మములలో నొకటి ఇట్లుండును :
A, B, C, D మరియు A1, B1, C1, D1 అనునవి వరు సగా రెండురేఖలమీద విక్షేపముద్వారా సంబద్ధములై యుండు బిందువు లగుచో... A' CA DA CA¹ D¹A¹ CB DB C'B¹ D'B¹
చిత్రము - 92
(ఈ) యూక్లిడుకు భిన్నమగు రేఖాగణితము : కొన్ని స్వయం సిద్ధ నిష్పన్నములగు యూక్లిడుయొక్క అనురూప సిద్ధాంతముల స్థానమును విరుద్ధములగు ప్రతిరూప సిద్ధాంతములు ఆక్రమించెను. అట్టి స్వయం సిద్ధములనుండి నిష్పన్నములైన బిందువులను, రేఖలను గూర్చి చెప్పు రేఖా గణిత వివరణముల పద్ధతులు యూక్లిడుకు భిన్నమగు రేఖాగణితముగా వ్యవహరించబడును.
ఒక దత్తరేఖమీద లేనట్టి ఒక దత్తబిందువు గుండా ఆ దత్తరేఖకు అసంఖ్యాకములగు సమాంతరరేఖలు గీయ వీలగునని స్వీకరింపబడుచో అపగత కేంద్రాభ మగు (Hyperbolic) సమతల రేఖాగణితము మనకు సిద్ధించును. దీనినిబట్టి, ప్రతిత్రిభుజము యొక్క మూడుకోణముల మొత్తము రెండు లంబకోణముల కంటె తక్కువ అని నిరూపించవచ్చును.
యూక్లిడు యొక్క అనురూప సిద్ధాంతస్థానములో “ఒకదత్త సరళ రేఖమీద లేనట్టి ఒక బిందువుగుండా ఆ దత్త సరళ రేఖకు సమాంతర రేఖ గీయబడజాలదు" అను విరుద్ధమగు ప్రతిరూప సిద్ధాంతమును ప్రవేశపెట్టినచో, మనకు ఊనకేంద్రాభమగు (Elliptic) రేఖాగణితము సిద్ధించును. దీనినిబట్టి ప్రతి త్రిభుజముయొక్క కోణముల మొత్తము రెండు లంబకోణముల కంటె అధికమని నిరూపించ వచ్చును.
(ఉ) అతిక్రాంత రేఖాగణితము (Hyper Geometry): ఇది త్రైపరిమాణికముల (of three dimensions) కంటె అధికమగు పరిమాణములు (quantities) గ్రహింపబడు ఊహాక్షేత్రము. ఇందలి సంబంధములు బీజగణిత సంకేతములచే నిర్ణయింపబడి చెప్పబడును.
4. టొపోలజీ (Topology) :
నిరంతరమగు ఆకార భ్రంశమునకు లోబడుచున్నప్పటికిని, స్థిరముగా నుండునట్టి రేఖాత్మక ఆకృతుల యొక్క ధర్మములను గూర్చి తెలిపెడి గణితభాగము టొపోలజీ (Topology) అనబడును. ఉ. ఒక బహుతల (polyhedron) ఆకృతిని గ్రహింతము. ఒక గోళము యొక్క ఉపరితలము వచ్చునట్లు దీనిని నిరంతర ఆకార భ్రంశ మొనర్పవచ్చును. ఇది మరియొక బహుతల రూపములోనికి మార్పు చెందినచో, V అనునది శీర్షముల యొక్క సంఖ్యయు, E అనునది అంచుల సంఖ్యయు, F అనునది తలములసంఖ్యము అయినచో ఎల్లప్పుడు V - E+F=2 అగును.
5. విశ్లేషణము (Analysis) :
అనంతపరిమితుల విధానములను గూర్చి చర్చించు గణితభాగము విశ్లేషణ మనబడును. అది అనంత శ్రేణుల యొక్క సిద్ధాంతములను గూర్చియు, అనుకలనము (integration) ను గూర్చియు, 'డెడికిండ్' యొక్క సంఖ్యా సిద్ధాంతము, 'కాంటర్' యొక్క సంఖ్యా సిద్ధాంతము మున్నగువాటిని గూర్చియు చర్చించును. ప్రమేయము (function) యొక్క నిర్వచనము, వాటి ధర్మములు కూడ ఈ గణితశాఖకే చెందును.
6. కలన గణితము (Calculus) :
ఈ గణితశాస్త్ర భాగము రెండు మూల సమస్యలను గూర్చి చర్చించును. మొదటిది స్పర్శరేఖల సమస్య; అనగా ఒక దత్త వక్ర రేఖకు స్పర్శరేఖలను నిర్ణయించుట. రెండవది చదరపు పరిమాణమును కనుగొను సమస్య (quadrature problem); అనగా ఒక దత్త వక్ర రేఖచే ఆవృతమైయుండు వైశాల్యమును కనుగొనుట; ఈ రెండు సమస్యల మధ్యగల సంబంధమును నిర్ణయించుట. మొదటి సమస్యను గూర్చి చర్చించు కలన గణిత భాగమును చలన కలన (differential calculus) గణిత మందురు. రెండవ సమస్యను గూర్చి చర్చించు భాగమును అనుకలన (Integral calculus) గణితమందురు. చలన కలనము, అనుకలనము పరస్పరము విలోమ విధానములని చూపవచ్చును. 17 వ శతాబ్ది యందు లై బ్నిట్జ్, న్యూటన్ అనువారు ఈ రెండు సమస్యల మధ్య గల సంబంధమును గుర్తించిరి. ఇదియే నిజముగా గురుత్వాకర్షణమునకు సంబంధించిన సమస్యలను వ్యక్తపరచుటలో తోడ్పడెను. ఉదా. ఒక బాహ్య బిందువువద్దనున్న m ద్రవ్యరాశిగల ఏకా కారపు గోళముయొక్క ఆకర్షణశక్తి, ఆ గోళముయొక్క కేంద్రము వద్దనున్న m ద్రవ్యరాశిగల ఒక చిన్న కణము (particle) యొక్క ఆకర్షణశక్తికి సమానమని న్యూటను, కలన గణితసహాయమున నిరూపింపగలిగెను.
శుద్ధగణితము - అనువర్తిత గణితము : గణితశాస్త్రము యొక్క ప్రతిశాఖను శుద్ధ. అనువర్తిత (pure and applied) అను రెండు భాగములుగా విభజించవచ్చును. శుద్ధగణితము ప్రత్యక్ష వస్తువులతో నిమిత్తములేని సిద్ధాంతములను, సూత్రములను గూర్చి చర్చించును. అనువర్తిత గణితము భౌతిక ప్రపంచములోని ఉష్ణము, విద్యుత్తు, శబ్దము, యంత్రములు, నౌకాయానము, ఖగోళశాస్త్రము మున్నగు శక్తులు లేక క్రియల విషయమున ప్రయోగాత్మక ప్రయోజనముగల గణిత సిద్ధాంతములను, సూత్రములను గూర్చి చర్చించును. {{|rightరా. రా.}}