సంపూర్ణవర్గ సమీకరణమునకు చెందియున్నది. దాని ఆకా రము కొలతలు పురుష ప్రమాణములో 6వ పటములో చూపిన విధముగా నుండును. దాని వైశాల్యము 74 చతురపు పరిమాణములు, m చతురపు పరిమాణములు వైశాల్యములో వృద్ధియైనచో క్రొత్త దైర్ఘ్య పరిమా ణము అగు ననుకొందము, (Increased unit of length=x) అయిన, 2x.2x+2(x+¥)x+(x+it)x=7++m. 7x°+ix=7}+m. ఈ సమీకరణములో m యొక్క పెద్ద ఘాతముల విలువల ను పేక్షించిన m x=1+ … (దాదాపు)* అగును. కాత్యాయనుడి విలువతోటే వేదివృద్ధిని చెప్పెను. (కా, శు.vi 4). iv. శుల్బకారులు లంబకోణ త్రిభుజములను సాధించిన విధ మీ క్రింద సమీకరణము ననుసరించి యుండును : x²+y'=z”….......…………………………………. (1) కాత్యాయనుడు దీర్ఘ చతురస్రమును చతురస్రము (Square) గా మార్చునపుడుకూడ ఇదేరకమగు సమీ కరణమును పొందగలిగెను. దాని నిర్మాణ మిట్లుండును: (కా. శు. ii 2.) “దీర్ఘ చతురస్రపు పొడవును వెడల్పుతో ఖండించి మిగిలిన భాగమును అట్లే ద్విఖండన చేసి ఒక విభాగమును దక్షిణవైపునను, రెండవ దానిని తూర్పు వైపునను చేర్చగా నేర్పడుదానికి కొంత కలిపి (చతు పటము 7 ఆర్షగణితము రస్రమును) పూర్తిచేసి తగ్గించవలెను. " దీనినిట్లు వివరించ వచ్చును. m పరిమాణములు పొడవు, 1 పరిమాణములు వెడల్పుగల దత్త దీర్ఘ చతురస్రములో ఐ' ను 'ఖండించగా మిగిలిన (m - ఐ) పొడవును రెండు సమభాగములు చేసి బొమ్మలో చూపిన విధముగా చేర్చవలెను. గీతలున్న మూలను పూరించగా నొక చతురస్ర మేర్పడును. దానిని కోరిన చతురస్రమునకు సమానముగా మరొక విధమున తగ్గించవలెను. ఈ నిర్మాణము ననుసరించి, mn={m---"}' -(;")' 2 √(mn)' = ("+")" - ("=")*;m=p*,n=q* m ప్రతి జేపించిన tp® qf+('غ')'-("‡º")అగును = ఇది పైన వ్రాసిన (1) ని పోలియున్నది. ఇట్టి సమీకర ణము మీద నాధారపడు కొన్ని లంబకోణ త్రిభుజము లను ఆవ స్తంబుడు సాధించెను. (ఆ. శు. V3-7) అవి (1) 33+4×=5° దీని ననుసరించి (3+3-3)+(4+4-3)* = (5+5-3)* (3+3.4)³+(4+4·4)*=(5+5.4)³ ఇవికూడ అంబకోణ త్రిభుజము లగును. (2) 5*+12×= 13' దీని ననుసరించి (5+52) + (12+12-2)³ = (13+13-2)* ఇదికూడ లంబకోణ త్రిభుజ మగును. ఈ విధముగా తెలిసిన లంబకోణ త్రిభుజమునుండి భుజ పరిమాణములను మార్చుచు ఇతర లంబకోణ త్రిభుజము లను సాధించెను. వెనుక చెప్పబడిన సమాన చతురస్రము అనేకములను ఒకటిగాచేయు కాత్యాయనుని పద్ధతికూడ ఇట్టి సమీకరణమునే యిచ్చును. దీనినే బ్రహ్మగుప్తుడు బ్రహ్మస్ఫుట సిద్ధాంతము (XII. 33) లో m-na, 2man, m+ఐ వంటి రూపములో లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క భుజముల సంబంధమును చెప్పెను. శుల్బశాస్త్రములో దీని ననుసరించి చెప్పబడిన The science of Sulba by Bibhuti Bhushan Datta-Calcutta. P. 167.
- (/m)=(=77)'-(27)
దీనినే భుజముల సంబంధములో 2pq, p'+ q', pl - qs గా వ్రాసిన లంబకోణ త్రిభుజమున కుపయోగించును. 795
