ధన - పై అంకె 2, బేసి ప్రధానసంఖ్యయైన, వలయు నిబం m-1 =1(mod m) గా మారును. ఎందుకన o (m) = m - 1 అని మనము ముందే గమనించితిమి. ఇచట d=2. కారణము (m – 1), 2 అంకెల గ. సా.భా. = 2, లెజండర్ సంకేతము (Legendre's Symbol) P అను సంఖ్య 2 కంటె భిన్నమైన ప్రధానసంఖ్యయై, P,S అను అంకెలు ఒక దానికొకటి ప్రధానములైన, లెజండర్ సం కేతము (P) నీ క్రిందివిధమున వివరించనగును:- S అను అంకె P యొక్క వర్గావశిష్టమైన (ఎ)=1. S అను అంకె P యొక్క వర్గావశిష్టేతరమయిన ( } } }) = -1. మనము పైన వ్యాఖ్యానించిన ఉదాహరణమును 7 యొక్క వర్గావశిష్ట (అనగా 1, 2, 4 అంకెలు ములు; 8, 5, 8 అంకెలు 7 యొక్క వర్గావశి ష్టేతర ములు అనుటను) లెజండర్ సంకేతముద్వారా ఈ క్రింది విధమున వ్రాయవచ్చును:- (†)=(4)=(4) = +1 (4)=(4)=(4)= −1 సాధారణముగా నుపయోగించు ముఖ్యసూత్రములు: (1) (i) - (?) (;) (2) (→) -(-1) (+) (3) ( ³½³) = (-1) పై మూడు సూత్రములలో బేసి ప్రధాన సంఖ్య. P 2 తప్ప తక్కిన ప్రధానాంకము అన్నియు బేసి సంఖ్యలే యగుట గమనింప నగును.) 4. వర్గ పారస్పర్య సిద్ధాంతము (Quadratic Recipro- city Law): “q, P” లు బేసి ప్రధాన సంఖ్యలైనచో (G) (4) (;) (;)-(-1) పై సూత్రములను ఉపయోగించి ఏదయిన ఒక సంఖ్య P అను బేసి ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గావశిష్టమో, 7 అంకములు వర్గావశి ష్టేతరమో సులభముగా కనుగొనవచ్చును. ఒక ఉదాహరణముతో అట్టి పద్ధతిని విశదీకరింతము. ఉదా : 51 అను సంఖ్య 78 అను ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గావశిష్టమా? వర్గావశిష్టేతరమా ? లెజండర్ సంకేతమున (93) అని వ్రాసి విలువ కను గొందము. (73 - 22) - 22 (mod 73) కావున (*) = (73) (½½³)=(71) Diz (33) = (i) (is) (4) అని 1 వ సూత్రము సహాయ మున వ్రాయగలము. కుడివైపున గల మూడు లెజండర్ సంకేతముల విలువలు వేరువేరుగా కనుగొందము: 73-1 (a) (771}) = = (- 1) ' = +1 ఇచట రెండవసూత్రము నుపయోగించితిమి. 732-1 (b) (+)=(-1) =+1 సూత్రము ఉపయోగింప బడినది. 73-11-1 (c) (+3) (13) =(-1) ఇ చట మూడవ = +1. వర్గ పరస్పర సిద్ధాంతము చూడవలెను. కావున (is)=(19) =(fr) మరియు (11) = (11) మరొకమారు వర్గపారస్పర్య సిద్ధాంతమును ఉపయోగించితిమి. (1)= (;1)= — (?)(?)= -1 · కాబట్టి (3) =(+1) (+1)(-1)=-1 అనగా ( 22 ) లేక 51, 78 ప్రధాన సంఖ్య యొక్క వర్గావళి ష్టేతరము, అనగా- x z - 22 (mod 73) ని సాధించలేము. = జాకోబి సంకేతము (Jacobi's symbol) : ఈ సంకే తము లెజండర్ సంకేతముకంటె సాధారణ ధర్మ సంకే తము. దీనినిట్లు వివరించనగును:- “P యేదేని బేసిసంఖ్య యనుకొనుము. P=1 అయిన (x) = (f) = + ) = + 1. ఇచట S, P లు ఒక దానికొకటి ప్రధానములు. P=P;XP XP X ... XP, కావచ్చును.
