అంకములు “P ప్రధానసంఖ్యయైన 1+1x2x3x... X(P-1)=0(mod P) .” ఈ సిద్ధాంతము యొక్క విలోమము(Converse) గూడ నిజమని రుజువు చేయబడినది. అనగా ప్రధానసంఖ్యలను కనుగొనుటకు ఈ విలోమసిద్ధాంత మొకమార్గము. దీని నిట్లు నిర్వచింపగలము :
"ఒక వేళ 1+1x2x3x... X (P - 1) = 0(mod P) అయినచో P అనునది ప్రధానసంఖ్య కావలయును.”
ఉదా : n=7 అయిన 1+1x2x3x4x5X6=1+720=721. దీనిని 7 నిశ్శేషముగా భాగించును. కారణము 7 ప్రధానసంఖ్య యగుటయే. ఇట్లే 6 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. కావున
- 1+1x2x3x4x5=121. ఇది 6 చే భాగింపబడదు.
చిన్నచిన్న సంఖ్యలను పరీక్షించుట కేగాని పెద్ద సంఖ్యకు ఈ సిద్ధాంతము అనువైనది కాదు. ఎందుకన, పెద్ద సంఖ్యల వితతలబ్ధము (Factorial) లను కనుగొనుటలో చాల శ్రమయగును.
ఇంతవరకు మనకు తెలిసిన ప్రధాన సంఖ్యలను గురించి కొంత తెలిసికొనుట అవసరము, అవి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...101...257 ..65,587...1950 సంవత్సరము వరకు మనకు తెలిసిన పెద్ద ప్రధాన సంఖ్య క్రింద వ్రాయబడినది. 170, 141, 183, 460, 469, 231, 731, 687, 303, 715, 884, 105, 727.
ప్రధానసంఖ్య లెన్ని గలవు? వీటిసంఖ్య పరిమితమా? అనంతమా ? ప్రధాన సంఖ్యల సంఖ్య అనంతమని తేలికగా రుజువుచేయగలము.
ప్రధాన సంఖ్యలను గురించి డిరిష్ లె (Dirichlet 1805-1859) వివరించిన సూత్రము మరొకటి ఇట్లు ఉన్నది:-
“a, b లు ఒక దానికొకటి ప్రధానములైనచో an+b, n= 0, 1, 2,...లో అనంతముగా ప్రధాన సంఖ్యలు గలవు.”'
n చాల పెద్ద సంఖ్య యైనపుడు, దానికంటే చిన్నవి అగు ప్రధానాంకముల సంఖ్య రమారమి 10 g= అగునని హడమార్డ్ (Hadamard), డిల వెల్లపొస్సిన్ (Dela Vella Poussin) అను గణిత శాస్త్రజ్ఞులు కనుగొనిరి.
వర్గావశిష్ట, వర్గావశిష్టేతరములు (Quadratic residues and Quadratic non-residues): ఏదైన సహజ సంఖ్య యొక్క వర్గమును ఒక ప్రధానాంకముచే భాగించగా మిగులు శేషమును ఆ ప్రధానాంకము యొక్క వర్గావశిష్టమందురు. వర్గావశిష్టములు కాని అంకెలను వర్గావSi ష్టేతరములందురు.
12, 22, 32 లను 7 చే భాగించగా వచ్చు శేషములు వరుసగా 1, 4, 2. అట్లే 42, 52, 62 లను 7 చే భాగించినను వచ్చు శేషములు 2, 4, 1 మాత్రమే యని గమనించుట సులభము. ఇదే విధముగా 82, 92, 102... లను 7 చే భాగించినను వచ్చు శేషము 1, 4, 2 అంకెలు మాత్రమే. (సున్నను శేషముగా పరిగణించము) అనగా, సహజ సంఖ్యల వర్గములను 7 చే విభజించగా మిగులు శేష మెప్పటికిని 1, 2, 4 అంకెలలో నొకటి మాత్రమే యగును. 1, 2, 4 అంకెలను 7 యొక్క వర్గావశిష్టము లనియు, మిగిలిన 3, 5,6 అంకెలను 7 యొక్క వర్గావశి ష్టేతరము లనియు పేర్కొందురు.
వర్గావశిష్ట, వర్గావశిష్టేతర లబ్ధ ధర్మములు :
1. రెండు వర్గావశిష్టముల లబ్ధము వర్గావశీష్ట మగును. 2. వర్గావశిష్టేతరములలబ్ధము వర్గావశిష్ట మేయగును. 8. వర్గావశిష్ట, వర్గావశిష్టేతరములు లబ్ధము వర్గావశిష్టేతరమగును.
ఇంతవరకు వివరించిన ఉదాహరణము యొక్క సాధారణీకరణమును ఇట్లు వివరింపవచ్చును:-
"m, n అను అంకెలు ఒకదాని కొక్కటి ప్రధానములై, x2=r (mod n) సర్వసమత్వము సరియగునట్లు x విలువను పూర్ణసంఖ్యలలో సాధించగలిగిన, r అను అంకె m అను అంకెయొక్క వర్గావశిష్టమనియు, అటుల సాధింపజాలకున్న r అను అంకె, m యొక్క వర్గావశిష్టేతరమనియు అందురు.”
పై సర్వసమత్వమును సాధించగలుగుటకు ఆవశ్యకము, సమర్థము ఐననిబంధన (Necessary and sufficient) condition నది. ఇందులో 9(m) గురుతు మనకు తెలిసినదే. 4 అను అంకె 9 (m), 2 ల యొక్క గరిష్ఠ సామాన్యభాజక ము, =1(modm) అని రుజువుచేయబడి
