రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/2. సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు
2. సహజ సంఖ్యలు, పూర్ణ సంఖ్యలు
రామానుజన్ కి ప్రతి సంఖ్యా ప్రియమిత్రుడే. అందుకని సంఖ్యలతో మొదలు పెడతాను. తెలుగులో అంకెలు, సంఖ్యలు అన్న రెండు మాటలు ఉండటం ఉన్నాయి కాని, వీటి వాడకంలో అంతగా నిర్ధిష్టత ఉన్నట్లు తోచదు. సున్న నుండి తొమ్మిది వరకు ఉన్న వాటిని అంకెలు అనాలనీ, ఆ పై వాటిని సంఖ్యలు అనాలనీ ఒక నియమం ఉండటం ఉంది కాని, అన్ని నియమాలలాగే ఈ నియమాన్ని అప్పుడప్పుడు ఉల్లంఘించక తప్పదు. మరొక కోణం నుండి చెప్పాలంటే ఇంగ్లీషులో "నూమరల్" (numeral) అనే మాటని అంకె అనీ, "నంబర్" (number) అనే మాటని సంఖ్య అనీ తెలిగించ వచ్చు.
సంఖ్యలకి రాతలో వేసే గురుతులే "అంకెలు" అనే నిర్వచనం మరొకటి ఉందిట. ఈ లెక్కని రోమన్ అంకెలు, గ్రీకు అంకెలు, హిందూ అంకెలు మొదలైనవి సంఖ్యలకి వాడే రకరకాల గుర్తులు.
మన సంస్కృతిలో "సాంఖ్య" అనే మరొక పదం ఉంది. సంస్కృత భాషలోని "సాంఖ్య" కీ లేటిన్ భాష లోని "సియంటియా" కి కొంత పోలిక ఉంది. ఈ "సియంటియా" నుండే "సైన్సు" అనే ఇంగ్లీషు మాట పుట్టింది కనుక "సైన్స్" అన్న మాటని "సాంఖ్యం" అని తెలిగించవచ్చు. సంస్కృతం లో "సాంఖ్య" అంటే జ్ఞానం. ఈ దృష్టితో చూస్తే సంఖ్యలు మన జ్ఞానానికి గుర్తులు అని వ్యాఖ్యానం చేస్తే చెయ్య వచ్చు.
మన మనుగడకి భాష నేర్పరితనం ఎంత ముఖ్యమో లెక్కలలో నేర్పరితనం కూడ అంతే ముఖ్యం. మనం ఏ విషయమైనా ఆలోచించేటప్పుడు ఆ ఆలోచనకి రూపం దిద్దటానికి మన మనోఫలకం మీద మాటలు పేర్చి చూసుకుంటాం. అదే విధంగా ఏదైనా నిశ్చయం చెయ్యవలసి వచ్చినప్పుడు, అసంకల్పంగానైనా సరే, ఆ నిశ్చయం చెయ్యటం వల్ల కలిగే లాభనష్టాలు ఏమిటో మనస్సులో లెక్కకట్టి, బేరీజు వేసి చూసుకుంటాం.
నేను ఇలా అన్నానని ఆదిమ మానవుడు బీజగణితం (algebra), గణాంకశాస్త్రం (statistics), కలన గణితం (calculus), మొదలైన గణిత శాస్త్రాలు వాడేడని మనం అనుకోనక్కర లేదు. రెండు వస్తువులని చూపిస్తే ఏది పెద్దదో చెప్పగలగటం, కైవారాన్ని బట్టి వస్తువులని ఒక క్రమంలో అమర్చటం, పెంపుడు జంతువులని లెక్కపెట్టి చూసుకోవటం, ఆస్తులు పంచుకోవటం, మొదలైన చర్యలు బతుకుకి నిత్యావసరాలు కదా. ఈ రకం గణన పద్ధతులనే మనం అంకగణితం (arithmetic) అంటాం.
లెక్క పెట్టటం సంగతే చూద్దాం. లెక్క పెట్టటానికి ‘అంకె’ అనే పరిజ్ఞానం కావాలి. ఈ అంకె అనే భావాన్ని బహిర్గతం చెయ్యటానికి ఒక మాట కావాలి. ఈ మాటని రాయటానికి ఒక సంకేతం కావాలి. ఈ మాటలే ఒకటి, రెండు, మూడు,.., మొదలైనవి. ఈ సంకేతాలు 1, 2, 3, …, మొదలగునవి. భాషని బట్టి మాట మారుతుంది. దేశ, కాల, పరిస్థితులకి అనుకూలంగా సంకేతాలు మారతాయి. కాని భావం ఒకటే.
ఇప్పుడు, ప్రపంచవ్యాప్తంగా ఎక్కువ వాడుకలో ఉన్న సంకేతాలు 1, 2, 3, …, మొదలైనవి కనుక ఇక్కడ వీటినే వాడదాం. ఈ అంకెలు, సంఖ్యలు, చూడటానికి ఒకేలా కనిపించినా, వీటిల్లో ఎన్నో సూక్ష్మమైన మెలికలు ఉన్నాయి. మనుష్యులంతా చూడటానికి ఒకేలా కనిపించినా, పరిశీలించి చూస్తే వారిలో ఎన్నెన్ని తేడాలు ఉన్నాయో! మనిషిని ముమ్మూర్తులా పోలిన మరొక మనిషి దొరకటం దుర్లభం. అలాగే అంకెలలో కూడ రకరకాల అంకెలు ఉన్నాయి. అవేమిటో చూద్దాం.
2.1 సహజ సంఖ్యలు (Natural Numbers)
చరిత్రని దృష్టిలో పెట్టుకు చూస్తే మొట్టమొదట లెక్క పెట్టుకోటానికి పనికొచ్చే అంకెలు మనకి తారసపడి ఉంటాయి. వీటిని మనం 1, 2, 3,…, అని రాస్తాం. గణిత పరిభాషలో చెప్పాలంటే - ఒకటి నుండి మొదలు పెట్టి 1, 2, 3,… అనుకుంటూ, అలా లెక్కపెట్టుకుంటూ పోతే నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని “సహజ సంఖ్యలు” అంటారు. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే, 1, 2, 3, 4, 5, 6,……అలా విసుగు, విరామం లేకుండా లెక్కపెట్టుకుంటూ పోతే వచ్చే అనుక్రమం (sequence) లోని సంఖ్యలే సహజ సంఖ్యలు (natural numbers). ఈ సహజ సంఖ్యలనే లెక్కింపు సంఖ్యలు లేదా గణన సంఖ్యలు (counting numbers) అని కూడ అంటారు. ఈ సహజ సంఖ్యల లక్షణాలు చూద్దాం. రెండు సహజ సంఖ్యలని కూడగా వచ్చే మొత్తం మరొక సహజ సంఖ్య అయి తీరుతుంది. ఉదాహరణకి 3 నీ 5 నీ కూడితే 8 వస్తుంది. ఇక్కడ 3, 5 సహజ సంఖ్యలు, వాటి మొత్తం కూడ సహజ సంఖ్యే! గణితశాస్త్ర వేత్తలకి ఈ రకం లక్షణం అంటే ఎంతో ఇష్టం. ఇది ఎందుకో చూద్దాం. ఇద్దరు మనుష్యులు కలుసుకుని పెళ్లి చేసుకున్నారని అనుకుందాం. ఈ కలయిక వల్ల వారికో పిల్ల పుడితే, ఆ పిల్ల మనిషి పిల్లయితే అది సహజంగా ఉంటుంది. వాళ్లకి ఏ కుక్క పిల్లో పుడితే అది అసహజం. అదే విధంగా రెండు సహజ సంఖ్యలని కలిపినప్పుడు మరొక సహజ సంఖ్య వస్తే ‘అది సహజం,’ అని గమనించి, సంతృప్తిపడతారు - లెక్కల ప్రపంచంలో విహరించే వ్యక్తులు. కనుక ఈ లక్షణం గణితంలో చాల ముఖ్యమైనది. ముఖ్యమైన లక్షణం కనబడ్డప్పుడు దానికో పేరు పెడితే బాగుంటుంది కదా. ఈ లక్షణాన్ని ఇంగ్లీషులో “క్లోషర్” (closure) అంటారు. దీన్ని మనం తెలుగులో “సంవృతం” అందాం. ఒక భావాన్ని ఒక మాటతో ముడి పెట్టేము కనుక ఇప్పుడు మనం గమనించిన భావాన్ని ఒక సూత్రంలా ప్రవచించవచ్చు: “సంకలనం చేసేటప్పుడు సహజ సంఖ్యలు సంవృత లక్షణం ప్రదర్శిస్తాయి.” (Natural numbers are closed under addition.) అంటే, రెండు సహజ సంఖ్యలని కలిపినప్పుడు వచ్చే సమాధానం కూడ సహజ సంఖ్యే!
పై సూత్రం చదవగానే కొంచెం, వీసమెత్తు, కుతూహలం ఉన్న వ్యక్తికి చిన్న సందేహం వస్తుంది: వ్యవకలనం లేదా తీసివేతలు చేసేటప్పుడు సహజ సంఖ్యలు సంవృత లక్షణం చూపుతాయా? ఈ ప్రశ్నకి సమాధానం వెతకటం కష్టం కాదు. ఉదాహరణకి 7 లోంచి 5 తీసివేస్తే 2 వచ్చింది. ఇక్కడ 7, 5, 2 సహజ సంఖ్యలే. కాని 5 లోంచి 7 తీసివేస్తే ఋణ సంఖ్య వచ్చింది. (ఋణ సంఖ్య అంటే ఏమిటో రాబోయే పేరాలో చెబుతాను.) ఈ ఋణ సంఖ్యని రాసేటప్పుడు - 2 అని రాస్తాం. ఈ - 2 సహజ సంఖ్యల జాబితాలో లేదు. మరొక ఉదాహరణ. సహజ సంఖ్య అయిన 5 లోంచి మరొక 5 తీసివేస్తే 0 వచ్చింది. ఈ రెండు సందర్భాలలో మనకి తారసపడ్డ 0, - 2 సహజ సంఖ్యలు కావు; నిర్వచనం ప్రకారం సహజ సంఖ్యలు 1 తో మొదలవుతాయి. అంటే, నిర్వచనం ప్రకారం ధన పూర్ణ సంఖ్యలే సహజ సంఖ్యలు; ఋణ సంఖ్యలు, సున్న సహజ సంఖ్యలు కావు. కనుక వ్యవకలనం చేసేటప్పుడు సహజ సంఖ్యలకి సంవృత లక్షణం లేదు. సంఖ్యలన్న తరువాత వాటితో కనీసం కూడికలు, తీసివేతలు చెయ్యలేకపోతే వాటి ప్రయోజనం ఏమిటి? నెత్తిమీద పెట్టుకుని ఊరేగటానికా? మన దైనందిన వ్యవహారాలకి సహజసంఖ్యలు ఒక్కటీ ఉంటే సరిపోవు; వాటితో పాటు, సున్న, ఋణ సంఖ్యలు కూడ ఉండాలి. అందుకని ధన పూర్ణాంకాలని, సున్నని, ఋణ పూర్ణాంకాలనీ గుత్త గుచ్చి వాటికి పూర్ణాంకాలు (integers or whole numbers) అని పేరు పెట్టి పిలవమన్నారు. మనం అలాగే పిలుస్తున్నాం. మన అవసరాలకి సహజ సంఖ్యల కంటె పూర్ణాంకాలు (లేదా, పూర్ణ సంఖ్యలు) మెరుగన్నారు. ఇక్కడ గమనించవలసినది ఏమిటంటే పూర్ణ సంఖ్యలలో ఒక భాగం పేరు సహజ సంఖ్యలు.
2.2 ధన, ఋణ సంఖ్యలు (Positive and Negative Number)
లెక్కపెట్టేటప్పుడు సున్న నుండి “ముందుకి” వెళితే వచ్చేవి ధన సంఖ్యలు , “వెనక్కి” వెళితే వచ్చేవి ఋణ సంఖ్యలు అనిన్నీ అంటారు. మనకి వచ్చే జీతపు రాళ్లు 10 అయితే దాన్ని ‘ధన 10’ అని కాని, ‘ప్లస్ 10’ అని కాని, ‘+10’ అని కాని అంటాం. అదే విధంగా మనకి పది రూపాయలు అప్పు ఉంటే దాన్ని ‘ఋణ 10’ అని కాని, ‘మైనస్ 10’ అని కాని. ‘-10’ అని కాని అనాలి. కనుక ‘ధన,’ ‘ఋణ’ అనే భావాలు లేదా ‘ఆదాయం,’ ‘వ్యయం’ అనే భావాలు చర్చించ వలసిన సమయాల్లో సహజ సంఖ్యలు అనే భావం సరిపోదు; పూర్ణాంకాలు (లేదా, పూర్ణసంఖ్యలు) అనే కొత్త భావం అవసరం వస్తుంది.
2.3 పూర్ణాంతాలు లేదా పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers)
సున్న నుండి మొదలు పెట్టి అలా ముందుకి లెక్కపెట్టుకుంటూ పోతే నిర్విరామంగా వచ్చే 0, 1, 2, 3, … వంటి ధన సంఖ్యలు, వెనక్కి పోతే వచ్చే -1, -2, -3, … వంటి ఋణ సంఖ్యలూ, అన్నింటిని కలిపి పూర్ణ సంఖ్యలు (integers) అని అంటారు. కనుక ….-3, -2, -1, 0, 1, 2,3,… వగైరాలన్నీ పూర్ణాంకాలు. వీటిల్లో -1, -2, -3,… వగైరాలు ఋణ పూర్ణాంకాలు; సున్న (0) ని కూడ ధన పూర్ణాంకం అనడం ఆనవాయితీగా వస్తూన్న ఆచారం కనుక 0, 1, 2, 3, … వగైరాలు ధన పూర్ణాంకాలు.
ఇప్పుడు మనం ఏ రెండు పూర్ణ సంఖ్యలని తీసుకుని కలిపినా, తీసివేసినా, హెచ్చవేసినా వచ్చే సమాధానం మరొక పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది. మచ్చుకి 5 కి 2 ని కలపగా వచ్చిన 7 మరొక పూర్ణ సంఖ్య; 2 నుండి 5 ని తీసివెయ్యగా వచ్చిన -3 కూడ పూర్ణ సంఖ్యే; 5 ని 2 చేత గుణించగా వచ్చిన 10 కూడ పూర్ణ సంఖ్యే. అంటే, సంకలన, వ్యవకలన, గుణకారాలు చేసేటప్పుడు పూర్ణ సంఖ్యలు సంవృత లక్షణాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి.
కూడికలు, తీసివేతలు, హెచ్చవేతలేనా మనం చేసే గణిత ప్రక్రియలు? ఆస్తుల పంపకాల సమయంలో భాగారాలు కూడ చెయ్యాలి కదా. ఉదాహరణకి -34 ని 2 చేత భాగించినప్పుడు -17 వచ్చింది. ఇందులో ఇబ్బందేమీ లేదు; ఒక పూర్ణ సంఖ్యని మరొక పూర్ణ సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు మరొక పూర్ణ సంఖ్య సమాధానంగా వచ్చింది. కాని ఈ -17 ని మళ్లా 2 చేత భాగిస్తే సమాధానంగా పూర్ణ సంఖ్య రాలేదు. కనుక భాగారాలు చేసేటప్పుడు పూర్ణసంఖ్యలు సంవృతాలు కావు. ఈ ఇబ్బంది నుండి గట్టెక్కాలంటే మనం మరొక రకం సంఖ్యలని సృష్టించుకోవాలి. అవే భిన్న సంఖ్యలు లేదా భిన్నాలు. వీటి సంగతి తరువాత చూద్దాం.
సహజ సంఖ్యలని, పూర్ణ సంఖ్యలని సంఖ్యా రేఖ (number line) మీద చుక్కలు వేసి చూపవచ్చు (బొమ్మ 2.1 చూడండి). ఈ సంఖ్యా రేఖ తరచు వాడుతాము కాబట్టి దీనితో పరిచయం పెంచుకోవడం మంచిది.
