రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/1. రామానుజన్ స్నేహితులు

వికీసోర్స్ నుండి
Jump to navigation Jump to search

1.రామానుజన్ స్నేహితులు

గణితంలో ‘నభూతో నభవిష్యతి’ అనిపించుకున్న మహా మేధావి శ్రీనివాస రామానుజన్ (22 December 1887 – 26 April 1920) లండన్ లో ఉన్న రోజులలో, "అంకెలు అతని సంగడికాళ్ళు" అన్నాడుట లిటిల్వుడ్ అనే పేరుమోసిన మరొక గణిత శాస్త్రవేత్త. సంగడికాడు అంటే స్నేహితుడు. స్నేహితులతోటీ, బొమ్మలతోటీ పిల్లలు ఆడుకున్నట్లే, రామానుజన్ అంకెలతో ఆడుకునేవాడని తాత్పర్యం.

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf
బొమ్మ 1.1. శ్రీనివాస రామానుజన్


1.1 టేక్సీ సంఖ్యలు

ఒక సారి జబ్బుతో మంచం పట్టి ఉన్న రామానుజన్ ని చూడటానికి ప్రొఫెసర్ హార్డీ (G. H. Hardy, 7 February 1877 – 1 December 1947) టేక్సీ చేయించుకుని వెళ్ళేరుట. ఆ టేక్సీ మీద ఉన్న 1729 ని చూసి అది "చాల చప్పగా ఉన్న సంఖ్యలా అనిపించింది" అన్నారుట, హార్డీ. "అయ్యయ్యో! అది చప్పనైనదేమీ కాదు, చాల ఆసక్తికరమైన సంఖ్య. రెండు పూర్ణ సంఖ్యల ఘనాల మొత్తం రెండు విధాలుగా రాయగలిగే సంఖ్యలన్నిటిలోను ఇది అతి చిన్నది" అని ఠక్కున సమాధానం ఇచ్చేరుట, రామానుజన్. ఈ గమనికని గణిత పరిభాషలో చెప్పవచ్చు: 1729 అనే సంఖ్య 1 నీ 12 నీ విడివిడిగా ఘనీకరించి ఆ లబ్దాలని కలిపినా వస్తుంది, లేదా 9 నీ 10 నీ విడివిడిగా ఘనీకరించి ఆ లబ్దాలని కలిపినా వస్తుంది. ఇదే విషయాన్ని గణిత సమీకరణం రూపంలో చెప్పాలంటే ఈ దిగువ చూపిన బొమ్మ 1.2 చూడండి.

1729= 13+123 లేదా 1729=103+93

అనగా

1729=1*1*1+12*12*12 =10*10*10+9*9*9


బొమ్మ 1.2. రెండు విధాలుగా 1729 ని రాయటం ఎలాగో చూపిస్తున్నాను. ఇక్కడ నక్షత్రం గుణకారానికి గుర్తు.


ఒకే అంశాన్ని (అంకెని కానీ, చలనరాసిని కానీ) రెండు సార్లు వేసి గుణిస్తే వచ్చిన దానిని వర్గు (square) అనీ, మూడు సార్లు వేసి గుణిస్తే వచ్చిన దానిని ఘనం (cube) అనీ అంటారు.

"అంకెలతో ఈ గారడీలు అన్నీ ఎలా చేయగలుగుతున్నావు?" అని ఎవరో రామానుజాన్ని అడిగితే, "నా ఇలవేలుపు నా చేత ఇలా పలికిస్తోంది" అన్నాడుట. పలికించేవాడు పలికిస్తూ ఉంటే పలికే పలుకుల్లో ప్రావీణ్యత ఉండక మరేమి ఉంటుంది? పైన చెప్పినటువంటి లక్షణం ఉన్న సంఖ్యలని “టేక్సీ సంఖ్యలు” అని కొందరు, "రామానుజన్ సంఖ్యలు" అని కొందరు అంటారు. నిజానికి “రామానుజన్ సంఖ్యలు” అనే పేరుతో చెలామణీ అయేవి చాలా ఉన్నాయి; అవి అన్నీ అర్థం కావాలంటే గణితం అనే ఒక మహాసముద్రం లోనికి బాగా లోతుగా దిగాలి. అవసరం వెంబడి దిగవలసి వచ్చినప్పుడు దిగుదాం. ఇటీవల పై సమస్యకి సంబంధించిన మరొక సమస్యని పరిష్కరించేరు. టేక్సీ సంఖ్యలలో అతి చిన్నది 1729 అయితే అతి పెద్దది ఏది? ఇప్పటివరకు మనకి తెలిసిన అతి పెద్ద టేక్సీ సంఖ్య 885623890831:

885623890831 = 75113 + 77303 లేదా 87593 + 59783

లెక్క వేసి చూసుకొండి. కంప్యూటర్లు ఉపయోగించి ఇంత కంటె పెద్దవి ఉన్నాయేమో వెతక వచ్చు.

1.2 రామానుజన్ చదరం

మనందరికీ సులభంగా అర్థం అయ్యే మరొక కానుక - రామానుజన్ నుండి. దీనిని రామానుజన్ చదరం అంటారు (బొమ్మ 1.3 చూడండి).

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf
బొమ్మ 1.3 రామానుజన్ చదరం


ఈ బొమ్మలొ ప్రతి అరుస (row లేదా అడ్డు వరుస) లో సంఖ్యలని కూడి చూడండి. ప్రతి సారి మొత్తం 139 వస్తోంది కదా. ఇప్పుడు ప్రతి నిరుస (column లేదా నిలువు వరుస) లో ఉన్న సంఖ్యలని కూడి చూడండి. ఈ మొత్తాలూ 139 తో సమానమే!

ఇప్పుడు ఏటవాలుగా ఉన్న రెండు కర్ణాల వెంబడీ ఉన్న సంఖ్యలని కూడదాం. మొదటి కర్ణం: 22 + 17 + 89 + 11 = 139

రెండవ కర్ణం: 87 + 9 + 24 + 19 = 139

“అబ్బే! ఇందులో వింతేముంది? ఈ రకం చదరాలు ఇంతకు ముందు చూసేం” అని మీరు పెదవి విరచే లోగా మరికొన్ని విషయాలు చూడండి.

ఇప్పుడు నాలుగు మూలలో ఉన్న సంఖ్యలని కూడండి.

మూలలు: 22 + 89 + 19 + 11 = 139

ఇంకా కావాలా? ఏ ఉపచదరంలో సంఖ్యలని కూడినా 139 వస్తుంది.

మధ్య ఉపచదరం: 17 + 9 + 24 + 89 = 139

ఈశాన్య ఉపచదరం: 18 + 87 + 9 + 25 = 139

నైరుతి ఉపచదరం: 10 + 24 + 19 + 86 = 139

ఆగ్నేయ ఉపచదరం: 89 + 16 + 23 + 11 = 139

వాయవ్య ఉపచదరం: 22 + 12 + 88 + 17 = 139

మరి రెండు చదరాలు మిగిలిపొయాయి. అవేమిటో గుర్తుపట్టి చెప్పగలరా? ఈ చదరం ఉన్న కాగితాన్ని అడ్డుగా చుట్ట చుడితే పైనున్న రెండు గదులు, కిందనున్న రెండు గదులు కలిసి ఉత్తర-దక్షిణ ఉపచదరం: 12 + 18 + 86 + 23 = 139

ఇప్పుడు కాగితాన్ని నిలువుగా చుట్ట చుడితే ఎడమన రెండు గదులు, కుడిన ఉన్న రెండు గదులు కలిసి -

తూర్పు-పడమర ఉపచదరం: 88 + 23 + 12 + 18 = 139

ఈ అద్భుతం చాలనట్లు మరొక్క మహాద్భుతం ఈ చదరంలో దాగి ఉంది.

పై వరుసలో ఉన్న నాలుగు సంఖ్యలని మరొక సారి చూడండి. చూసి, ఇలా చదవండీ:

22-12-1887.

ఇది 22 డిసెంబర్ 1887 - శ్రీనివాస రామానుజన్ జన్మ దినం!

1.3 రామానుజన్ మేధ పని చేసే తీరు?

ఈ ఉపోద్ఘాతం ముగించే లోగా రామానుజన్ వంటి మహా మేధావి మేధ ఎలా పని చేస్తూ ఉండుంటుందో ఊహిద్దాం.

ఉదాహరణకి 3 అనే అంకెని ఇచ్చి దీనిని మరొక విధంగా రాయమని అడిగేమనుకుందాం. ఎవరినైనా అడిగి చూడండి. మూడొంతులు ఈ దిగువ ఇచ్చిన సమాధానాలలో ఏదో ఒకటి రావచ్చు:

3 = 1 + 1 + 1

3 = 2 + 1


కాని ఎవ్వరైన ఈ దిగువ ఇచ్చిన సమాధానం ఇస్తే కొంచెం కొత్త దారిలో వెళుతూనే వ్యక్తిలా కనిపిస్తాడు:


ఇప్పుడు వర్గమూలం కింద ఉన్న 9ని 1 + 8 అని రాసి, ఆ 8 ని 2*4 రాయొచ్చు కదా! (ఇక్కడ నక్షత్రాన్ని గుణకారానికి గుర్తుగా వాడుతున్నాను.)

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf

ఇప్పుడు ఈ 2*4 లో ఉన్న 4 ని 16 యొక్క వర్గమూలంగా రాయవచ్చు కదా.

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf


ఇప్పుడు ఇంతవర్కు చేసిన పనిని పదే పదే చేసుకుంటూ పోదాం. అనగా, ముందు 16 ని 1 + 15 అని రాయడం, ఆ 15 ని 3*5 అని తిరగ రాయడం.

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf


ఇప్పుడు ఈ 3*5 లో ఉన్న 5 ని 25 యొక్క వర్గమూలంగా రాయవచ్చు కదా. కనుక

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf

ఇప్పుడు 24 ని 4*6 గా రాసి, ఈ 4*6 లో ఉన్న 6 ని 36 యొక్క వర్గమూలంగా రాయవచ్చు కదా. కనుక

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf

ఇలా ఎంత దూరమైనా పోవచ్చు. ఎంత దూరం వెళ్లినా పైన రాసిన సమీకరణం చెల్లుతుందని ఋజువు చెయ్యవచ్చు. ప్రయత్నించి చూస్తారా?

Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf

తో మొదలు పెట్టి మీ మెదడుకి పని కల్పించండి!

చూసేరా! మన 3 ని 3 లా వదిలెయ్యకుండా మరొక విధంగా రాయాలనే కోరిక మనలో ఎంతమందికి పుడుతుంది?

ఆలోచించండి!