రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/11. 𝜋- రామానుజన్ స్నేహితురాలు

by వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు

11. π – రామానుజన్ స్నేహితురాలు

ఒక వృత్తంలో కేంద్రం నుండి పరిధి వరకు ఉండే దూరాన్ని వ్యాసార్థం అంటారు. ఈ వ్యాసార్థం విలువ 1 అయితే ఆ వృత్తం వైశాల్యం విలువ 3.1415926535.... అవుతుంది. ఒక వృత్తం యొక్క వ్యాసం విలువ 1 అయితే ఆ వృత్తం పరిధి (చుట్టుకొలత) కూడ సరిగ్గా ఇంతే ఉంటుంది. ఈ సంఖ్య గణితంలోనూ, భౌతిక శాస్త్రంలోనూ, ఎన్నో చోట్ల, వృత్తంతో సంబంధం లేని చోట్ల కూడ, తారస పడుతూ ఉంటుంది కనుక దీనికి ప్రత్యేకించి ఒక పేరు (గుర్తు) కేటాయించేరు. దీనిని గ్రీకు భాషలో పై (π ) అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు. కనుక, ఇటుపైన

π = 3.1415926535...

పైన ఇచ్చిన సంఖ్యలో చివర ఉన్న మూడు చుక్కలని చూడండి. సంప్రదాయికంగా వీటి అర్థం ఏమిటంటే ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ దశాంశ స్థానాలలో అంకెలు, అవిరామంగా, అలా వస్తూనే ఉంటాయి. ప్రత్యేకించి, ఈ సందర్భంలో ఈ అంకెలు ఒక ఆవర్తన బాణీ ప్రదర్శించకుండా వస్తూ ఉంటాయి. లెక్కలు చేసేటప్పుడు ఇలాంటి సంఖ్యలతో వేగడం కష్టం. అందుకని పై సంఖ్యని ఏ నాలుగవ దశాంశ స్థానంలోనో ఆపేసి, 3.1416 అని రాసి సరిపెట్టుకుంటాం. లేదా 22/7 లాంటి భిన్నంతో సరిపెట్టుకుంటాం.

ఈ π చాల ముఖ్యమైన సంఖ్య అని పురాతన కాలం నుండీ, చాలా దేశాలలో, తెలుసు. క్రీ. పూ. 1620 నాటి రిండ్ పపైరస్ లో దీని విలువ 2⁸/3⁴ = 3.1605 అని చెప్పబడి ఉంది. సా. శ. 600 లో భారతదేశంలో బ్రహ్మగుప్తుడు దీని విలువ ఉరమరగా 10 = 3.162.... ఉంటుందని ఊహించేడు. గుప్త సామ్రాజ్యంలో ఉన్న ఆర్యభట్టు π ≈ 62832/20000 = 3.1416 అని వాడి, దానితో భూమి చుట్టుకొలత గణన చేసేడు. కేరళకి చెందిన మాధవ (సు. 1350 - 1425) ఈ దిగువ చూపిన అనంత శ్రేణిని ఉపయోగించి π విలువని 13 దశాంశ స్థానాల వరకు నిర్దేశించగలిగేడు. π = 4 - 43 + 45 -47 + 49- + .....

సా. శ. 1593 లో ఫ్రాంస్వా వయీటా (Francios Vieta) π విలువ కనుక్కుందుకి ఈ దిగువ చూపిన సమీకరణం ఇచ్చేడు:

2 = 12 x 12 +1212 x 12 +1 212 +1212 x…...

ఈ సమీకరణంలో గమనించదగ్గ విశేషం ఏమిటంటే ఇది అనంత “లబ్ద” శ్రేణి.

జీటా ప్రమేయాన్ని 2 దగ్గర కాని 4 దగ్గర కాని విలువ కట్టి తద్వారా π విలువ తెలుసుకోవచ్చు:

(s = 2) = *6

(s = 4) = ***90

ఆర్కిమిడీస్ కాలం నుండి నేటి వరకు గణితంలో కొద్దో, గొప్పో ప్రతిభ ఉన్న ప్రతి వ్యక్తీ π మీద పరిశోధన చెయ్యకుండా విడచిపెట్టలేదు. వారు చేసిన పనులన్నీ ఇక్కడ సమీక్షించడం నా ఉద్దేశం కాదు.

అప్పుడప్పుడు π విలువని 3.1416 వంటి పరిమితమైన ఖచ్చితత్త్వం (accuracy) ఉన్న సంఖ్యలతో సరిపెట్టుకుంటే మనకి లభించే ఫలితంలో ఉండవలసిన ఖచ్చితత్త్వం ఉండదు. అప్పుడు తొమ్మిది దశాంశ స్థానాలు వాడి 3.14159265 తో సరిపెట్టుకోవచ్చు. ఈ విశ్వం ఆకారం ఒక మహా గోళంగా ఊహించుకుని ఈ గోళం చుట్టుకొలత “దోష రహితంగా” లెక్క కట్టవలసి వచ్చినప్పుడు తొమ్మిది దశాంశ స్థానాలు కూడ సరిపోవు; 39 దశాంశ స్థానాలు వాడవలసి ఉంటుంది. అప్పుడు మనకి లభించే ఫలితంలో “ఉదజని అణువు వ్యాసం వాసి” దోషం కంటె తక్కువ దోషం ఉంటుంది. ఇటువంటి పరిస్థితులలో తప్ప - ఎటువంటి సందర్భంలోనూ - π ని రాయడంలో 50 దశాంశ స్థానాలు మించి వాడవలసిన అవసరం రాదు. కాని కలన యంత్రాలు వాడుకలోకి వచ్చిన తరువాత π విలువని 10,000 బిలియను దశాంశ స్థానాలు దాటి కూడ లెక్క కట్టి చూసేరు. ఎందుకుట?

పై ప్రశ్నకి ఒకటి కంటె ఎక్కువ సమాధానాలే ఇవ్వ వచ్చు. ఒకటి, కలన యంత్రాలు, అవి వాడే గణన పద్ధతులు (algorithms) ఎంత సమర్ధవంతంగా పని చేస్తున్నాయో తెలుసుకోడానికి π విలువ కట్టడమనేది ఒక అగ్ని పరీక్షలా వాడతారు. రెండు, π విలువ కట్టడం లో ఖచ్చితతత్త్వం పెరిగే కొద్దీ ఆ విలువ చేత ప్రభావితమైన సంఖ్యా గణితం (number theory) లో లోతుకి దిగడానికి సావకాశాలు పెరుగుతాయి. మూడు, అన్నిటి కంటె ముఖ్యమైన కారణం – పరిష్కారం లేకుండా సమశ్య ఉండిపోతే మానవుడి మేధకి ఒకటే దురద! ఇంతవరకు ఎవ్వరు అధిరోహించని శిఖరం ఉంటే దానిని ఎక్కాలి అన్న కోరిక ఉన్నట్లే, π విలువని ఎవ్వరు ఎక్కువ దశాంశ స్థానాల వరకు కట్టగలరన్నది ఒక సవాలు! అంతే!!

అంతే కాకుండా, ఇంతవరకు π గురించి మనకి తెలియని విషయాలు, తెలుసుకోవలసిన విషయాలు, ప్రహేళికలు ఎన్నో ఉన్నాయి. ఉదాహరణకి పూర్ణ సంఖ్యల మీద కేవలం అంకగణిత పరికర్తలు (arithmetic operators) - అనగా కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగారాలు, వర్గమూలాలు - మాత్రమే ఉపయోగించి π విలువ కట్టడం సాధ్యం కాదని మనకి తెలుసు. అంతే కాకుండా, π లో నిరంతరాయంగా వచ్చే అంకెలలో ఎప్పటికీ ఒక బాణీ అంటూ కనిపించదని అనుకుంటున్నాము కానీ, ఈ విషయం ఎవ్వరు ఇంతవరకు ఋజువు చెయ్యలేదు. (బిలియనుల పైబడి పరిశీలించిన దశాంశ స్థానాలలో ఇంతవరకు ఏ రకం బాణీ కనిపించ లేదు. ఇటు పైన కూడ అటువంటి బాణీ లేకుండా ఉంటుందని భరోసా ఏదీ?). ఇదివరలో మనవి చేసినట్లు, వృత్తంతో ఏ విధమైన సంబంధంలేని సందర్భాలలో కూడ π తరచు తారసపడుతూ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి పూర్ణ సంఖ్యలలో ఏదో ఒక దానిని యధాలాపంగా ఎన్నుకుని ఆ సంఖ్యయొక్క ప్రధాన భాజకాలలో పునరుక్తి లేకుండా ఉన్న సంఘటన యొక్క సంభావ్యత లెక్క కడితే అది 6/π² అని సమాధానం వస్తుంది. ఈ సందర్భంలో π కనబడవలసిన అవసరం లేదు. కాని కనబడింది! ఎందువల్ల? రెండున్నర సహస్రాబ్దాల నుండి π మీద ఆసక్తి తగ్గకుండా నిలవడానికి ఇవి కొన్ని కారణాలు.

11.1 రామానుజన్ స్నేహవర్గంలో π

రామానుజన్ స్నేహితులలో π కి ఒక ప్రత్యేక స్థానం ఉందనవచ్చు: π యొక్క విలువని చాల దశాంశ స్థానాల వరకు దక్షతతో లెక్క కట్టే పద్ధతులని ఎన్నిటినో రామానుజన్ కనిపెట్టేరు - కలన యంత్రాల ఆవిష్కరణకి ముందు రోజులలో! ఆ పద్ధతులని కలన యంత్రాల జోరుతో మేళవించి π విలువ బిలియనుల దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్క కట్ట గలిగే స్థోమత మనకి ఇప్పుడు వచ్చింది.

ఉదాహరణ 1: ఈ దిగువ ఇచ్చిన అనంత శ్రేణి (1/π) విలువని పరిగణన చెయ్యడానికి బాగా ఉపయోగపడుతుంది.

బొమ్మ 11.1 రామానుజన్ 1914 లో ఇచ్చిన సూత్రం

ఈ ప్రక్రియ చాల జోరుగా అభిసరణ చెందుతుంది (converge అవుతుంది). ఎంత జోరుగా? ఉదాహరణకి k = 0 అనుకుంటే ఈ “అనంత శ్రేణి” లో ఒకే ఒక పదం (term) ఉంటుంది. దాని విలువ కడితే –

π = 9801/(2 x 1103 x 2) = 3.14159273001...

దీనిని మొదట్లో ఇచ్చిన π యొక్క అసలు విలువతో పోల్చితే దోషం 0.0000000764235…. అవుతుంది కనుక దోషం దశాంశ బిందువు తరువాత 8 వ స్థానంలో కనిపిస్తోంది. మిగిలిన పదాలని కూడ చేర్చితే ఈ విలువ ఖచ్చితత్త్వం ఇంకా పెరుగుతుంది. డేవిడ్ గోస్పర్ (David Gosper) 1985 లో ఈ సూత్రం ఉపయోగించి π విలువ 17 మిలియను దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్క కట్టగలిగేడు. ఈ రకం “సూత్రాలు” రామానుజన్ 17 తయారు చేసేరు. ఇతరులు తయారు చేసినవి, లేకపోలేదు. కాని అవి పైన చూపిన సూత్రం అంత జోరుగా అభిసరణ (converge) చెందుతూన్నట్లు లేవు.

ఉదాహరణ 2:

ఈ రెండవ ఉదాహరణని ఆధునిక కలన యంత్రాల దృక్పథంతో చూద్దాం. ఇక్కడ π విలువ గణించడానికి రామానుజన్ ఇచ్చిన మరొక సూత్రాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఈ సూత్రం బొమ్మ 10.2 లో చూపెడుతున్నాను.

బొమ్మ 11.2 రామానుజన్ π విలువ కట్టడానికి ఇచ్చిన మరొక సూత్రం

ఉదాహరణ 1 లో ఇచ్చిన సూత్రం అభిసరణ చెందినంత జోరుగా ఇది చెందదు. కాని ఈ రెండవ సూత్రానికి కొన్ని విలక్షణమైన లక్షణాలు ఉన్నాయి: (1) బొమ్మ 10.2 లో చూపిస్తూన్నది కూడ అనంత శ్రేణే. ఈ శ్రేణిలో కనిపించే ప్రతి పదంలోనూ 2ⁿ వంటి అంశం కనిపిస్తూ ఉంటుంది. కొంచెం గణిత దృష్టి తో చూడాలి; కొట్టొచ్చినట్లు కనబడదు. దీని పర్యవసానం ఏమిటంటే ఈ శ్రేణిలోని పాక్షిక మొత్తాలని (partial sums) దశాంశ నుండి ద్వియాంశ (decimal to binary) లోకి మార్చినప్పుడు ఆ మార్పు దోషరహితంగా జరుగుతుంది. కంప్యూటర్లు పనిచేసేది ద్వియాంశ మాధ్యమంలోనూ, మనం పని చేసేది దశాంశ మాధ్యమంలోనూ కనుక దశాంశ నుండి ద్వియాంశ లోకి, ద్వియాంశ నుండి దశాంశ లోకి మారినప్పుడల్లా కలనం దోషరహితంగా జరగడం వల్ల లాభం ఉంటుంది. అనగా, దశాంశ-ద్వియాంశ మార్పు జరిగినప్పుడు కలన దోషాలు జొరబడి లెక్క లోని ఖచ్చితత్త్వం పాడు కాదు. (2) తగినన్ని పదాలని కలిపిన తరువాత కొంత ఖచ్చితత్త్వం వస్తుంది కదా. ఇప్పుడు మరికొన్ని కొత్త పదాలని కలిపి ఆ ఖచ్చితత్త్వం మరికొంచెం పెంచడానికి ప్రయత్నం చెయ్యవలసి వస్తే (అంటే, దశాంశ బిందువు తరువాత వచ్చే అంకెల పొడుగుని పెంచవలసి వస్తే) లెక్కని మొదటి నుండీ తిరిగి చెయ్యక్కర లేకుండా కొత్త పదం కలిపినప్పుడల్లా ఖచ్చితత్త్వం 6 ద్వింకముల (bits) ప్రాప్తికి పెరుగుతూ ఉంటుంది.

ఈ గొడవ అంతా అర్థం అవాలంటే ఒక్క అడుగు వెనక్కి వేసి బొమ్మ 10.2 లో చూపించిన సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకుందుకి ప్రయత్నిద్దాం. బొమ్మ 10.2 లో ఉన్న మొదటి పదాన్ని పరిభాషలో ద్విపద గుణాంకం (binomial coefficient) అంటారు. దీని విలువ ఉరమరగా లెక్క కట్టడానికి ఈ దిగువ బొమ్మ 10.3 లో చూపిన స్టర్లింగ్ సూత్రం (Stirling formula) ఉపయోగిస్తారు:

బొమ్మ 11.3 స్టర్లింగ్ సూత్రంతో ద్విపద గుణాంకం విలువ ఉరమరగా

ఈ విలువని బొమ్మ 11.2 లో చూపించిన అనంత శ్రేణిలో ప్రతిక్షేపించి, బీజగణితం ఉపయోగించి సూక్ష్మీకరిస్తే (గణితంతో కుస్తీ పట్టే అలవాటు ఉంటే అది ఇక్కడ ఉపయోగిస్తుంది) అనంత శ్రేణిలోని ప్రతి పదమూ ఒక భిన్నం రూపంలో కనబడుతుంది. (ఈ ప్రయత్నం కాగితం, కలం తీసుకుని చేసి చూడండి.) అప్పుడు ఆ భిన్నం లోని లవం (numerator) 2⁶ⁿ వలె ఉంటుంది, హారం (denominator) 2^{(12n + 4)} వలె ఉంటుంది. ఈ లెక్కంతా చేసేస్తే ఈ భిన్నం రూపం ఈ దిగువ చూపినట్లు ఉంటుంది.

2⁶ⁿ 2 ^{(12n + 4)} = 2 ^{-(6n + 4)}

అనగా n విలువ పెరుగుతున్న కొద్దీ ఈ పదం విలువ తరుగుతూ ఉంటుంది. అంటే శ్రేణి విలువ పెరిగిపోకుండా అభిసరణ చెందుతుంది. జరుగుతున్న ప్రక్రియ ఇంకా సుబోధకం కాడానికి ఈ శ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలని లెక్క కట్టి బొమ్మ 11.4 లో చూపుతున్నాను.

బొమ్మ 11.4 బొమ్మ 11.2 లోని మొదటి మూడు పదాలు

ఈ శ్రేణిలో కేవలం మొదటి పదాన్ని మాత్రమే తీసుకుంటే

1 = 516 = 0. 3125 లేదా = 3.2

ఇలా రెండు లగాయతు మిగిలిన పదాలని కత్తిరించడం వల్ల కత్తిరింపు దోషం (truncation error) ఉరమరగా రెండవ పదం అంత ఉంటుంది. అనగా 0.0057373 ప్రాప్తిలో ఉంటుంది. ఈ శ్రేణిలో కేవలం మొదటి రెండు పదాలని మాత్రమే తీసుకుంటే

1 = 516 + 37665536= 0. 318237 లేదా = 3.1423

ఇలా మూడు లగాయతు మిగిలిన పదాలని కత్తిరించడం వల్ల కత్తిరింపు దోషం ఉరమరగా మూడవ పదం అంత ఉంటుంది. అనగా 0.00007161 ప్రాప్తిలో ఉంటుంది.

కుతూహలం ఉన్నవారు ఈ దిగువ ఇచ్చిన ఆధార గ్రంథాలని పరిశీలించగలరు.

ఆధారాలు:

1. Ramanujan, S., “Modular functions and approximations to π,” Quarterly J of Pure and Applied Mathematics, Vol. 15, pp 350-372, 1914. 2. Beckman, Peter, A History of π, The Golem Press, 1977.

3. Borwein, Jonathan M. and Borwein, Peter B. Pi and the AGM: A Study of Analytic Number Theory and Computational Complexity, John Wiley & Sons, 1986.

4. Borwein, Jonathan M. and Borwein, Peter B., “Ramanujan and π,” Scientific American, pp 112-117, Feb 1988.

5. Berndt, Bruce C., “Ramanujan’s Series for 1/π: A Survey,” American Mathematical Monthly, Aug/Sep 2009. Available here: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.158.2533rep=rep1type=pdf

6. Borwein, J. M. Borwein, P. B. and Bailey, D. H., “Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi: or How to Compute One Billion Digits of π,” http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Hasse/00029890.di991740.99p0456b.pdf

7. Approximations of π: http://en.wikipedia.org/wiki/Approximations_of_%CF%80