రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/9. ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు
9.ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు
కేవలం ఆకర్షణీయంగా మాత్రమే ఉండి, భార్యకి ఉండవలసిన ఇతర లక్షణాలు (కార్యేషు మంత్రీ, క్షమయా ధరిత్రీ, వగైరా) మరేవీ లేని వ్యక్తిని ఇంగ్లీషులో “ట్రోఫీ వైఫ్” (trophy wife) అంటారు. ఇదే విధంగా “పనికొచ్చే లక్షణాలు” లేని ఒక గణితశాస్త్ర విభాగం ఉంది. దానిని శుద్ధ గణితం (pure mathematics) అంటారు. ఇందులో “బొత్తిగా పనికిమాలిన” శాఖ మరొకటి ఉంది. దానిని సంఖ్యా వాదం (number theory) అంటారు. సంఘంలో ట్రోఫి వైఫ్ ఎలాంటిదో గణితంలో సంఖ్యా గణితం అలాంటిదని కొందరు చమత్కరిస్తారు. గణితంలో సంఖ్యా గణితాన్ని అధ్యయనం చేసేవారు సౌందర్యోపాసకులు. ఆ గణితంలో వారి కంటికి కనిపించే అందమే వారికి ఆనందదాయికం. ఈ శాఖలో ఉన్న మరొక ఉపశాఖని ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) అంటారు. ఈ ప్రధాన సంఖ్యలు ఎందుకు, ఎవ్వరికి, ఎక్కడ, ఎలా ఉపయోగపడతాయో చెప్పడం అనేది చెప్పే వాడి దృక్పథం మీద, వినే వాడి దృక్పథం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. కంప్యూటర్ వలయాలలో సమాచారం నుండి మరొక చోటకి రహస్య సంకేత లిపిలో పంపే కార్యక్రమాలలో ప్రధాన సంఖ్యల వాడకం విరివిగా కనబడుతోంది. ప్రయోజనాల మాట పక్కన పెడితే ఈ ఉపశాఖలో కనబడే అందం మరెక్కడా లేదేమో అనిపిస్తుంది. గణితంలో ప్రావీణ్యం లేని వారు కూడ, గణితపు లోతులని తరచి చూసే సామర్ధ్యం లేని వారు కూడ ఈ ప్రధాన సంఖ్యల అందచందాలని చవి చూడకపోతే జీవితంలో ఒక వెలితి మిగిలిపోయినట్లే. అదృష్టవశాత్తు ఈ ప్రధాన సంఖ్యలలోని అందచందాలని చవి చూసి ఆనందించడానికి గణితం లోతుల్లోకి అతిగా వెళ్ళనక్కరలేదు.
9.1 అసాధారణ సంఘటన
ఈ అంశాన్ని ఇప్పుడు, ఇక్కడ ప్రస్తావించడానికి ఒక కారణం ఉంది. ఈ మధ్య, అనగా, సా. శ. 2013 లో, గణిత ప్రపంచంలో ఒక అసాధారణమైన సంఘటన జరిగింది. ఇది ఎన్నో విధాలుగా అసాధారణం. క్రీడా రంగంలో ప్రతిభ యువ తరానికి ఎలా పరిమితమో అదే విధంగా గణిత రంగంలో ప్రతిభ బాల్యానికీ, యువతకీ పరిమితం. గణితంలో పేరు ప్రతిష్ఠలు తెచ్చుకున్న వాళ్లంతా చిన్నతనంలోనే వికసించి పరిమళించేరు. ఒక గౌస్ అనండి, ఒక గేల్వా అనండి, ఒక రామానుజన్ అనండి, ఒక మంజుల్ భార్గవ అనండి – వీరంతా పాతికేళ్లు నిండే లోపునే ప్రపంచ ప్రఖ్యాతి పొందేరు. ఉదాహరణగా 1985 లో తీసిన ఈ దిగువ ఫొటోలో (బొమ్మ 8.1 చూడండి) కొమ్ములు తిరిగిన పాల్ ఎర్డిష్ (Paul Erdős) కేవలం 10 ఏళ్ల టెరెన్స్ టావ్ (Terrance Tao) తో గణితంలో ఎదురయే ఒక సూక్ష్మాన్ని చర్చిస్తూన్న దృశ్యం చూడండి. దరిమిలా, 2007 లో, టావ్ కి, అతను సంఖ్యాశాస్త్రంలో చేసిన పనికి గుర్తింపుగా, ప్రతిష్ఠాత్మకమైన ఫీల్డ్స్ మెడల్ (Fields Medal) వచ్చింది. ఈ బాల మేధావి ఇప్పుడు కేలిఫోర్నియా విశ్వవిద్యాలయం, లాస్ ఏంజిలిస్ లో, ఆచార్య పదవి అలంకరించి ఉన్నాడు.
ఇలా పరిమళించిన వారంతా పాతిక, ముప్పయి సంవత్సరాల లోపునే వారు చేరుకోవలసిన శిఖరాగ్రాలు చేరుకున్నారు. ఏభయ్యవ పడి దాటిన తరువాత గణిత శాస్త్రపు పురోగతికి దోహదం చేసిన వ్యక్తులు దరిదాపుగా లేరనే చెప్పాలి. అటువంటిది, 2013 లో, ఏభయ్ ఏళ్లు దాటిన "వయోవృద్ధుడు," అంతవరకు గణిత ప్రపంచానికి బొత్తిగా పరిచయం లేని ఒక "అనామకుడు," చదువు అయిన తరువాత ఉద్యోగం దొరకక చిల్లర పనులు చేసి పొట్ట నింపుకున్న ఒక "అప్రయోజకుడు" అకస్మాత్తుగా తారాపథంలో నవ్యతారలా ఒక్క వెలుగు వెలిగిపోయి అందరినీ ఆశ్చర్యచకితులని చేసిన వయినం ఇక్కడ చెప్పబోతున్నాను.
మన కథానాయకుడి పేరు ఈటాంగ్ జాంగ్ (జ. 1955). చైనాలో ఉన్నత పాఠశాలలో ఉన్నప్పుడు ఆల్జీబ్రా ని చూసి గాభరా చెందిన ఈ వ్యక్తి పర్డు (Purdue) యూనివర్సిటీ నుండి 1991 లో పి. ఎచ్. డి. పట్టా పుచ్చుకున్నాడు. ఆయనకి మార్గదర్శిగా ఉన్న ఆచార్యుడితో స్పర్ధలు వచ్చిన కారణంగా, సిఫార్సు (“రికమెండేషన్” ఉత్తరం) లేనందువల్ల జాంగ్ కి ఎక్కడా ఉద్యోగం దొరకలేదుట. ఈ పంచనీ ఆ పంచనీ చేరి పొట్టపోసుకుంటూ, తాడు తెగిన గాలిపటంలా, ఉన్న జాంగ్ ని చూసి జాలిపడి ఒక స్నేహితుడు యూనివర్శిటీ అఫ్ నూ హేంప్‌షైర్ లో, 1999 లో, ఉపన్యాసకుడు (“లెక్చరర్”) ఉద్యోగం ఇప్పించేడు. అక్కడ “కేలుక్యులస్” పాఠాలు చెప్పుకుంటూ, 2001 లో ఒక పరిశోధనా పత్రం ప్రచురించేడు కాని అది ఆయన, ఆ పత్రికా సంపాదకుడు తప్ప మరెవ్వరూ చదివిన దాఖలాలు లేవు. తరువాత 2013 లో ప్రచురించిన రెండవ పత్రంతో దిక్కులు పిక్కటిల్లేలా జాంగ్ పేరు గణిత ప్రపంచంలో మారుమోగిపోయింది. జాంగ్ పరిష్కరించిన సమస్యని నియమిత విరామ సమస్య (the bounded gap problem) అని పిలుస్తారు. ఇది ప్రధాన సంఖ్యల అధ్యయనంలో తారసపడే అతి క్లిష్టమైన సమస్య. పరిష్కారం లేకుండా రెండు శతాబ్దాల నుండి వేధిస్తూన్న సమస్య!
9.2 ప్రధాన (అభాజ్య) సంఖ్యలు
ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) అనేవి 1 చేత గాని, తమ చేతే కాని మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగించడానికి లొంగేవి అని నిర్వచనం. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ......, వగైరాలన్నీ ప్రధాన సంఖ్యలే. మరొక విధంగా చెప్పాలంటే ప్రధాన సంఖ్యలకి భాజకాలు (divisors) లేవు. ఈ నిర్వచనంతో సరి సంఖ్యలు (2 తప్ప) ప్రధాన సంఖ్యలు కావు. అదే విధంగా 3 చేత, 4 చేత, 5 చేత, ....., భాగించబడేవి ఏవీ ప్రధాన సంఖ్యలు కాజాలవు. ఇలా మినహాయించుకుంటూ పోగా మిగిలేవే ప్రధాన సంఖ్యలు.
వీటి గురించి పురాతన కాలంలో గ్రీకులకి తెలుసు. పైథాగరస్ (Pythagoras) కాలంలో (క్రీ. పూ. 500 – 300) వీటికి ఒక రకం పవిత్రత అంటగట్టేరు. యూక్లిడ్ రోజుల నాటికి (క్రీ. పూ. 300) ప్రధాన సంఖ్యల గురించి మనకి ఎన్నో విషయాలు తెలిసిపోయాయి. యూక్లిడ్ తన “ఎలిమెంట్స్” తొమ్మిదవ పుస్తకంలో ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతమైనన్ని ఉన్నాయని రుజువు చేసేడు. యూక్లిడ్ అంకగణితానికి మూల స్తంభం అనదగ్గ మరొక సిద్ధాంతాన్ని కూడ రుజువు చేసేడు: ప్రతి పూర్ణాంకాన్ని (1 ని మినహాయించి) ఏకైక ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దం (product) గా రాయవచ్చు. ఉదాహరణకి 6 = 2 x 3. మరొక ఉదాహరణ 42 = 2 x 3 x 7. కాని 60 కి 2, 3, 10 ప్రధాన కారణాంకాలు కావు. కానీ 60 ని కూడ ప్రధాన కారణాంకాల లబ్దంగా రాయవచ్చు: 60 = 2 x 2 x 3 x 5. నిజానికి “ఏ పూర్ణ సంఖ్యని అయినా సరే కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా రాయవచ్చు” అని రుజువు చెయ్యవచ్చు.
రెండు ప్రధాన సంఖ్యలని – ఎంత పెద్దవైనా సరే – కనుక్కోవడం పెద్ద కష్టం కాదు కాని, ఒక సంఖ్యకి ప్రధాన సంఖ్యలయిన కారణాంకాలు (prime factors) కనుక్కోవడం చాల కష్టం. అంతర్జాలంలో వార్తలని సురక్షితంగా పంపడానికి ఈ లక్షణం బాగా ఉపయోగపడుతుంది. వివరాలు చెప్పుకుంటూ పోతే దారి తప్పుతాం. ప్రధాన సంఖ్యలు మన జీవితంలో ఉపయోగపడే సందర్భం ఇదొకటి అని చెప్పుకోడానికి ఉదాహరణగా ఈ విషయం ప్రస్తావించేను.
క్రీ. పూ. 200 నాటికి ఇరాటోస్తనీస్ (Eratosthenes) అనే గ్రీకు ఆసామీ అంకెలన్నిటిని “ఒక జల్లెడలో వేసి జల్లిస్తే” పైన ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే మిగిలే పద్ధతిని కనిపెట్టేడు. ఈనాటి వరకు మనకి తెలిసిన విషయాలు అన్నీ స్మరించుకుంటూ పోడానికి ఇది స్థలమూ కాదు, వేళా కాదు. కాని కొన్ని ముఖ్యమైన విషయాలని టూకీగా చెప్పుకొస్తాను. 9.3 నియమిత విరామ సమస్య (Bounded Gap Problem)
ఒక సరళరేఖ మీద సమాన దూరాలలో చుక్కలు పెట్టి, వాటి పక్క 0, 1, 2, 3, ..., అనుకుంటూ నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని సూచించినప్పుడు దానిని "సంఖ్యా రేఖ" (number line) అంటారు. ఈ సంఖ్యా రేఖ మీద ప్రధాన సంఖ్యలని, మాటవరసకి, ఎర్ర రంగులో రాసేం అనుకుందాం. అప్పుడు గీత మొదట్లో చాల ఎర్ర రంగు సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 47 అనే పదహారు సంఖ్యలు 50 కంటె చిన్నవయిన ప్రధాన సంఖ్యలు. సంఖ్యా రేఖ మీద వంద వరకు వెళితే, అంటే 1 నుండి 100 మధ్యలో, ఇరవై అయిదు ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. లెక్కించి చూసుకొండి. వెయ్యి వరకు వెళితే 168 ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. అంటే, సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపించడం పలచబడుతుంది, లేదా ప్రధాన సంఖ్యల సాంద్రత తగ్గుతుంది. ఈ పలచబడడం గురించి చిన్న ఉపమానం చెబుతాను.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలతోటే వివాహాలు చేసుకుంటాయని అనుకుందాం. అప్పుడు సంఖ్యా రేఖ మొదట్లో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి సంబంధాలు దొరకడం తేలిక - పక్క పక్కనే సంబంధాలు దొరుకుతాయి. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు పలచబడతాయి కనుక అక్కడ ఉన్న వారు సంబంధాలకోసం ఇరుగునా, పొరుగునా చూస్తే దొరకడం కష్టం; కావలసిన లక్షణాలు ఉన్న సంబంధం కోసం “దేశాంతరాలు” దాటి పోవాలి. ఉదాహరణకి "గూగోల్ ప్లెక్స్" (అంటే, 10 గూగోల్ సార్లు వేసి గుణించగా వచ్చిన సంఖ్య) దగ్గర ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యకి సంబంధం కావాలంటే ఇటూ, అటూ "గూగోల్" దూరం వెతక వలసి రావచ్చు. (గూగోల్ అంటే 1 తరువాత 100 సున్నలు, "గూగోల్ ప్లెక్స్" అంటే 1 తరువాత గూగోల్ సున్నలు.)
ఇక్కడ గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద అనంతమైన దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయన్నది ఒక అంశం. అంతే కాదు అనంతంగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉపయోగించి పుట్టించవచ్చు. (The whole number line can be produced using nothing but primes.) ఇటువంటి లక్షణాలు ఉండబట్టే ఈ క్షేత్రాన్ని దున్నుతూన్న కొద్దీ వజ్రాలు పుట్టుకొస్తున్నాయి.
ఇప్పుడు కొన్ని ప్రత్యేకమైన ప్రధాన సంఖ్యల పేర్లు చెబుతాను. వీటి వెనక ఉండే గణిత సూత్రాలు, ఋజువులు అర్థం కాకపోయినా పరవా లేదు.
(1) ప్రధాన సంఖ్యలు (2 ని మినహాయించి) అన్నీ బేసి సంఖ్యలే.
(2) రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 2 అయితే వాటిని "కవల ప్రధాన సంఖ్యలు" లేదా "కవలలు" (twins) అంటారు. ఉదా: (3,5); (5,7); (11,13); (17,19); వగైరా. ఈ వరుస క్రమంలో తరువాత వచ్చే కవలలు మరి కొన్ని చెప్పుకోగలరా? ప్రయత్నించండి, కష్టం కాదు.
(3) రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 4 అయితే వాటిని "జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు" లేదా జ్ఞాతులు (cousins) అంటారు. ఉదా: (3,7); (7,11); (13,17). మరికొన్ని మీరు రాసి చూడండి.
(4) రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం 6 అయితే వాటిని “షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు" అనొచ్చు. లేదా షష్ఠ్యంతరాలు. లేటిన్ లో 6 ని sex అంటారు కనుక వీటిని ఇంగ్లీషులో “sexy ప్రధాన సంఖ్యలు” అంటారు. ఉదా: (5, 11); (7, 13); (11,17). మరి కొన్ని షష్ఠ్యంతరాలు మీరు రాసి చూడండి.
కవలలనీ, జ్ఞాతులనీ, షష్ఠ్యంతరాలునీ, ...., వగైరాలని గుత్తగుచ్చి “జంట” ప్రధాన సంఖ్యలు అనొచ్చు. ఇక్కడ “కవల” కీ “జంట” కీ తేడా ఉంది. జంట ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య దూరం మనం నిర్దేశించి చెప్పవచ్చు కాని “కవల” సంఖ్యల మధ్య దూరం ఎప్పుడూ రెండే.
కాలక్షేపానికీ, మరికొన్ని ఆసక్తికరమైన విషయాలు: (5) ఒక ప్రధాన సంఖ్యలో ఉన్న అంకెలని ఏ విధంగా అమర్చినా తిరిగి ప్రధాన సంఖ్యే వస్తే వాటిని నిరపేక్ష (absolute) ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు. ఉదా: 199, 919, 991. వెయ్యి లోపున 21 నిరపేక్ష ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, వగైరా. మిగిలిన తొమ్మిదింటిని మీరు కనుక్కొండి.
(6) కచిక (palindrome) ప్రధాన సంఖ్యకి ఒక ఉదాహరణ: 700666007. ఇది ఎటు నుండి చదివినా ప్రధాన సంఖ్యే! మధ్యలో 666 ఉండడం వల్ల దీనిని "సైతాను" (beastly) ప్రధాన సంఖ్య అని కూడ అంటారు. (క్రైస్తవ మతంలో సైతానుని 666 తో సూచిస్తారు.)
(7) ఒక సంఖ్యలో అంకెలని గుండ్రంగా చక్రంలా అమర్చిన తరువాత ఎక్కడనుండి చదివినా ప్రధాన సంఖ్యే వస్తే దానిని చక్రీయ (cyclic) ప్రధాన సంఖ్య అంటారు. ఉదా: 1193, 1931, 9311, 3119 అనేవి నాలుగంకెల చక్రీయ ప్రధాన సంఖ్యలు.
(8) ఒక సంఖ్యలో అన్నీ గుండ్రటి ఒంపు తిరిగిన అంకెలు (అనగా 0, 3, 6, 9) మాత్రమే ఉంటే దానిని ఒంపుల ప్రధాన సంఖ్య (curved-digit prime) అంటారు.
(9) ఒక ప్రధాన సంఖ్యలో అంకెలని ఒకటీ, ఒకటీ మినహాయించుకుంటూ పోతూన్నప్పుడు మిగిలినది ప్రధాన సంఖ్యే అయితే దానిని "మినహాయింపు" (deletable) ప్రధాన సంఖ్య అంటారు. ఉదా: 1997. ఎడమ పక్క నుండి వరుసగా 1, 9, 9 మినహాయించగా మిగిలిన 997, 97, 7 ప్రధాన సంఖ్యలు.
(10) "క్యూబన్" (Cuban) ప్రధాన సంఖ్యలకీ, క్యూబా దేశానికి ఏ విధమైన సంబంధము లేదు. ఇక్కడ "క్యూబన్" అంటే "క్యూబ్" (cube) కి సంబంధించిన అని అర్థం. వీటిని మనం “ఘన ప్రధాన సంఖ్యలు” లేదా ఘనాపాటీలు అనో అనొచ్చు. ఇలా సరదా కబుర్లు చాల సేపు చెప్పుకోవచ్చు కాని ముందుకి కదులుదాం.
ఈ వ్యాసానికి ముఖ్య కారణం చర్చించే ముందు మరొక్క సంగతి తెలుసుకుందాం. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యల తరచుదనం (frequency) లేదా సాంద్రత (density) తగ్గిపోతుంది అని కదా మొదట్లో చెప్పుకున్నాం; అంటే, వాటి మధ్య ఖాళీ లేదా మొర్రి లేదా విరామం (gap) పెరుగుతూ కనిపిస్తుంది. ఈ పెరుగుదలలో ఏదైనా ఒక బాణీ ఉందా అనేది ఆసక్తికరమైన పరిశోధనా అంశమే! ప్రస్తుతానికి ఆ విషయాన్ని కూడ పక్కకి పెట్టి మరొక సంబంధిత అంశాన్ని పరిశీలిద్దాం. సిద్ధాంతపరంగా లెక్క కట్టినప్పుడు 360,000 చుట్టుపట్ల ఈ విరామం సగటున 12.8 “అంకెల దూరం” ఉంటుంది. (గణిత పరిభాషలో చెప్పాలంటే, ఒక సంఖ్య N అయితే ఆ చుట్టుపట్ల విరామం విలువ సగటున “నేచురల్ లాగరిథం అఫ్ N,” (ln N), అయి ఉంటుంది.) అనగా, ఎక్కడ చూసినా ఈ సగటు విలువ కంటె ఎక్కువలు, తక్కువలు కూడ కనిపిస్తూనే ఉంటాయి. ఉదాహరణకి సంఖ్యా రేఖ మీద 360,000 చుట్టుపట్ల వచ్చే ఈ ప్రధాన సంఖ్యల జంటలని బొమ్మ 8.2 లో చూడండి.
(1) 360,169 & 360,181 అనే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య విరామం విలువ 12. ఇది సగటుకి దగ్గరగా ఉంది.
(2) 360,287 & 360,289 అనే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య విరామం విలువ 2. కనుక ఇవి కవలలు. ఈ విరామం సగటు కంటె బాగా తక్కువగా ఉంది.
(3) 360,653 & 360,749 అనే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య విరామం విలువ 96. ఈ విరామం సగటు కంటె బాగా ఎక్కువగా ఉంది.
కనుక ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏది చెప్పినా ఆషామాషీగా చెబితే కుదరదు; కొంచెం జాగ్రత్తగా ఆలోచించి చెప్పాలి.
సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయని యూక్లిడ్ ఏనాడో అన్నాడు కదా. కాని ఆయన కవల ప్రధాన సంఖ్యల గురించి ఏమీ చెప్పలేదు. గణితశాస్త్రంలో ఒక శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) – అంటే, ఇంకా ఋజువు కాని ఫలితం – ప్రకారం ఇటువంటి కవల ప్రధాన సంఖ్యలు కూడ సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట. ఆ మాటకొస్తే జ్ఞాతి ప్రధాన సంఖ్యలు, షష్ఠ్యంతర ప్రధాన సంఖ్యలు,....., వగైరాలు కూడ సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయిట.
ఇప్పుడు మే నెల 2013 లో ఈటాంగ్ జాంగ్ ఈ దిశలో అధిరోహించిన శిఖరం గురించి తెలుసుకుందాం. ఈయన ఆవిష్కరించిన కొత్త విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా "ప్రధాన సంఖ్యలు 'వాటి మధ్య కనిపించే విరామం (gap) ఒక పరిమితమైన అవధి దాటకుండా' అలా కనిపిస్తూనే ఉంటాయి" అని. ఎన్నిట? అనంతమైనన్ని! (ఈ ఫలితాన్ని ఇంగ్లీషులో, The number of prime pairs that are less than a bound apart is infinite అని రాయవచ్చు.) దీని సారాంశం అవగాహన కావాలంటే గణిత శాస్త్రపు లోతులలోకి కొద్దిగానైనా వెళ్లాలి. సంఖ్యా రేఖ మీద ఎంత దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయి అన్న విషయం మనందరికీ తెలిసిన విషయమే. ఇప్పుడు జాంగ్ వచ్చి “ఒక ప్రధాన సంఖ్యకి, దాని తరువాత కనిపించే ప్రధాన సంఖ్యకి మధ్య వచ్చే విరామం నియమితం” (bounded) అని అన్నారు. అంటే, ఎంత దూరం వెళ్లినా ఆ ఖాళీ విలువ ఒక అవధి దాటకుండా పరిమితంగానే ఉంటుంది కాని ఎప్పటికీ అనంతం కాదు. ఇంకా నిర్ధిష్టంగా చెప్పాలంటే, ఆ విరామం విలువ 70,000,000 దాటదు.” ఇది సామాన్యులకి అందుబాటు కాని విషయమే అయినా గణిత ప్రపంచంలో పతాక శీర్షిక అయి కూర్చుంది.
జాంగ్ చూపించిన దారి వెంట తర్కించుకుంటూ వెళితే మరొక ఉపయుక్తమైన ఫలితం వెంటనే దొరికింది. పైన చెప్పిన అనంతమైన శ్రేఢిలో వచ్చే ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య వచ్చే విరామానికి ఒక గరిష్ఠ అధో అవధి (greatest lower bound లేదా infimum) ఉందిట. అది 70,000,000 కంటె ఖచ్చితంగా తక్కువేనట. (అనగా, ఇంగ్లీషులో చెప్పాలంటే the number of prime pairs that are less than 70 million units apart is infinite.) ఇదే విషయాన్ని గణిత పరిభాషలో మళ్లా చెబుతాను. ఉదాహరణకి pn, pn+1 అనేవి ఒకదాని తరువాత మరొకటి వచ్చేవి అయిన రెండు ప్రధాన సంఖ్యలు అనుకుందాం. అప్పుడు pn+1 – pn = gn అనేది ఈ రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మధ్య ఉండే విరామం (gap). ఈ విరామం విలువ అనంతం కాదు అన్నది మొదటి ఫలితం. ఈ విరామం విలువ 70 మిలియన్లు కంటె తక్కువ అన్నది విశేషాంశం. ఈ సందర్భంలో ఈ 70,000,000 ని అవధి (bound) అంటారు. ఇదే విషయాన్ని గణిత పరిభాషలో ఈ దిగువ అసమీకరణం (inequality) ద్వారా చెప్పవచ్చు: limit as n goes to infinity of the infimum of gn is less than 70 million. ఇదే విషయాన్ని సంప్రదాయిక గణిత పరిభాషలో రాసినప్పుడు బొమ్మ 9.4 లో చూపినట్లు ఉంటుంది:
(ఇక్కడ “ఇన్^ఫిమమ్” (infimum) అన్న మాటకి అర్థం తెలిస్తే కాని ఈ అసమీకరణం పూర్తిగా బోధపడదు. ఇంగ్లీషులో, the infimum of a set of numbers is the largest number that is less than or equal to all the numbers in the set.) ఒక విధంగా చూస్తే “ఇన్^ఫిమమ్” కీ “మినిమమ్” (కనిష్ఠ) కీ పోలిక ఉంది. కాని కొన్ని సందర్భాలలో కనిష్ఠ (“మినిమమ్”) అంశం కావాలని అడిగితే సమాధానం దొరకదు. ఉదాహరణకి “ధన నిజ సంఖ్యలు లో ఏది కనిష్ఠం?” అంటే చెప్పలేము. కాని “ధన నిజ సంఖ్యలు" అన్నీ -3 కంటే పెద్దవే, -2 కంటె పెద్దవే, -1 కంటె పెద్దవే -0.5 కంటె పెద్దవే, -0.1 కంటె పెద్దవే, 0 కంటె పెద్దవే అనుకుంటూ వెళితే ఈ -3, -2, -1, -0.5, …-0.1,... , 0 లలో అన్నిటి కంటె పెద్దదయిన అధో అవధి - గరిష్ఠ అధో అవధి (greatest lower bound) 0 అవుతుంది. మరొక ఉదాహరణగా {2,3,4} అనే సమితికి 2 గరిష్ఠ అధో అవధి; 1 “అధో అవధి” మాత్రమే అవుతుంది కాని గరిష్ఠ అధో అవధి కాజాలదు.)
ఇప్పుడు జాంగ్ సాధించిన ఫలితాన్ని మరొక విధంగా చెప్పి చూస్తాను. ఒక అవధిని తీసుకొని, సంఖ్యలను ఎంత పెంచుకొంటూ పోయినా, తమ మధ్య దూరం ఆ అవధిని మించకుండా ఉండే ప్రధాన జంటలు దొరుకుతాయా లేదా అన్నది ఇక్కడి ప్రశ్న. దొరుకుతాయి అన్నది జాంగ్ నిరూపించారు. ఆ అవధి 70,000,000 కన్నా తక్కువని కూడా నిరూపితమైంది.
గణితంలో ఇటువంటి అవధులని నిర్ణయించడం చాల ముఖ్యమైన పని. ఈ ఫలితాన్ని ఆసరాగా చేసుకుని మరికొందరు ఈ అవధి (bound) ని 246 కి, తరువాత 16 కి కుదించగలిగేరు. అనగా, ఆ అవధి 16 కన్నా తక్కువ అని కూడా నిరూపించారు! అంటే ఎంత పెద్ద సంఖ్య తీసుకొన్నా, ఆ సంఖ్య కన్నా పైన – ‘16 కంటె తక్కువ దూరం ఉన్న’ ప్రధాన జంటలు మనకి దొరుకుతాయి. మరెవ్వరైనా ఈ అవధిని 2 కి కుదించగలిగితే ఎప్పటినుంచో వాడుకలో ఉన్న కవల ప్రధాన సంఖ్యల శిష్టాభిప్రాయం (Twin Prime Conjecture) నిజం అవుతుంది. ఏమిటా శిష్టాభిప్రాయం? కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్నది.
కవల ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అని నిర్ణయం జరిగిపోతే అదే తర్కంతో జ్ఞాతులు, షష్ఠ్యంతరాలు, వగైరాలు అన్నీ కూడ అనంతమే అని ఋజువు చెయ్యటం తేలిక. అంటే, మీరు ఏ సరి సంఖ్య ఇచ్చినా సరే ఆ సంఖ్య నిర్దేశించిన దూరంలో ఉండే జంట ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతం అన్న మాట!
కుతూహలం ఉన్న వారికి 2,003,663,613 × 2195,000 − 1 and 2,003,663,613 × 2195,000 + 1 అనేవి కవల ప్రధాన సంఖ్యలకి మరొక ఉదాహరణ. అలాగే 3,756,801,695,685 x 2666,689 -1 and 3,756,801,695,685 x 2666,689 -1 అనేవి కవలలకి మరొక ఉదాహరణ.
ఇంత కథా చెప్పి జాంగ్ ఈ ఫలితాన్ని ఎలా సాధించేరో చెప్పనేలేదు కదూ? ఇరాటోస్తనీస్ (Eratosthenes) జల్లెడ వంటి సాధనాన్నే ఈయనా ఉపయోగించేరు. ఆ వివరాలు అన్నీ ఇక్కడ చెబుతూ కూర్చుంటే ఇది లెక్కల పాఠంలా తయారయే ప్రమాదం ఉంది; కావలసిన వారు ఈ దిగువ ఇచ్చిన ఆధారాలు చదవండి.
కృతజ్ఞతలు:
ఈ వ్యాసం ఈమాట అంతర్జాల పత్రికలో ప్రచురణ అయే ముందు సంపాదకుడు శ్రీ మాధవ్ మాచవరం అందించిన సహాయానికి, ప్రచురణ పొందిన తరువాత పాఠకుల నుండి వచ్చిన అనూహ్యమైన స్పందన నన్ను చకితుణ్ణి చేసింది. నా వ్యాసాన్ని చదివి మెచ్చుకున్నవారందరికీ ఒకొక్క నమస్కారం; తప్పులు ఎత్తి చూపిన పాఠక వర్గానికి వెయ్యి నమస్కారాలు! కేవలం భాషానువాదానికి సంబంధించిన తప్పులని ఎత్తి చూపిన వారు కొందరైతే, గణితపరంగా, మౌలికమైన తప్పులని పట్టి, సవరించిపెట్టినవారు మరికొందరు. వీలయినంత వరకు తప్పులని సరిదిద్దేను. ఈమాట చరిత్రలో - నా అనుభవంలో - ఇటువంటి ప్రక్రియ జరగడం ఇదే మొదటిసారేమో. గణితంలోని మూల భావాలని ఇంగ్లీషు నుండి తెలుగులోనికి దింపినప్పుడు నా తెలుగులో ఇంకా వెలితి కనిపించవచ్చు. రెండు విషయాలు జ్ఞాపకం పెట్టుకోమని పాఠకలోకానికి మనవి. ఒకటి, ఇది గణితంలో నిష్ణాతులైన పండితులని ఉద్దేసించి రాసినది కాదు; సామాన్య పాఠకులకి అర్థం అయే రీతిలో పదార్థాన్ని పరిచయం చెయ్యాలని చేసిన ప్రయత్నం. రెండు, తెలుగులో ఇటువంటి వ్యాసాలు రాయడానికి ఒరవడి అంటూ ఒకటి స్థిరపడలేదు. కనుక చదువుతూన్నప్పుడు మీకు కనిపించే లొసుగులు రాస్తున్నప్పుడు నాకు కనిపించవు. అందుకని పాఠకులందరూ ఇదే నిష్టతో నా వ్యాసాలని చదివి మీమీ అమూల్య అభిప్రాయాలు తెలియజేస్తూ ఉండండి.
ఆధారాలు:
1. Maggie McKee, “First proof that infinitely many prime numbers come in pairs: Mathematician claims breakthrough towards solving centuries-old problem,” Nature: Breaking News, 14 May 2013
2. Zhang, Yitang. "Bounded gaps between primes," Annals of Mathematics (Princeton University and the Institute for Advanced Study). Retrieved August 16, 2013. http://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07
3. Erica Klarreich, “Unheralded Mathematician Bridges the Prime Gap,” Quanta Magazine, May 19, 2013, https://www.quantamagazine.org/20130519-unheralded-mathematician-bridges-the-prime-gap/ 4. Jordan Ellenberg, The Beauty of Bounded Gaps: A huge discovery about prime numbers — and what it means for the future of mathematics, Math Horizons, Sep 2013, pp 5-7, www.maa.org/mathhorizons
5. Erica Klarreich, “Mathematicians Make a Major Discovery About Prime Numbers,” Quanta Magazine, Dec 22, 2014, https://www.quantamagazine.org/
6. Alec Wilkinson, “The Pursuit of Beauty: Yitang Zhang Solves a Pure-math Mystery,” The New Yorker, Feb 2, 2015, http://www.newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
7. Twin Prime Conjecture, Encyclopedia Britannica, http://www.britannica.com/topic/twin-prime-conjecture
8. ఉపాధ్యాయుల వేంకట సత్యనారాయణ, “కచిక పదాలు,” తెలుగు వెలుగు, తానా సభల ప్రత్యేక జ్ఞాపిక, పుటలు 105-107, 1985
9. వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, ప్రధాన సంఖ్యలలో కవలలు, ఈమాట అంతర్జాల పత్రిక, జూలై 2015, http://eemaata.com/em/issues/201507/6980.html