సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/రెండవ సంపుటము/కలన గణితము

కలనగణితము (Calculus) :

క్రీ. పూ. 4, 5 శతాబ్దములలో గణితశాస్త్రము గ్రీసు దేశీయులచే శాస్త్రీయ పద్ధతులపై అభ్యసింపబడేను. వారు వేరు వేరు విచిత్రపద్ధతులను ఉపయోగించి క్రింది విషయములకు సంబంధించిన సమస్యలను వివరించుటకు ప్రయత్నించిరి.

(1) శంకుచ్ఛేదము (Conic) నకు స్పర్శరేఖలు. (2) వృత్తపరిధి. (3) వృత్తి వైశాల్యము. (4) శంకువు యొక్క ఆయత (Cone) ఘనము (5) పరవలయ (Parabola) ఖండ (Segment) వైశాల్యము మున్నగునవి. కాని క్రీ. శ. 17 వ శతాబ్దమువరకు ఇట్టి విషయములకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించుట కనువైస సర్వసాధారణ పద్దతి లభించలేదు.

17 వ శతాబ్దమున గణితశాస్త్రజ్ఞుల నాకర్షించిన ముఖ్యమగు సమస్యలు రెండు. (1) స్పర్శరేఖలకు సంబంధించిన సమస్య. (2) వైశాల్యగణనము. ఈ రెండు సమస్యలు కలనగణితమునకు మూలాధారములు, కలనగణిత వికాసమున న్యూటన్ (Newton), లీబ్నిజ్. (Liebnitz) అను గణితశాస్త్రజ్ఞులను ముందు పేర్కొనకతప్పదు. వీరు స్పర్శ రేఖాసమస్యకుమ, వైశాల్యగణనమునకును గల సంబంధమును విశదముగా గుర్తించిరి. విజ్ఞానకోశము - ఒక వక్ర రేఖ (Curve) పై నుండు ఏ బిందువు వద్ద నైనను గీయబడిన స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు (Slope)ను గనుగొనుటయే స్పర్శ రేఖాసమస్య. వక్ర రేఖ C పై P అను బిందువునకు దగ్గరగా నున్న మరొక బిందువు P' అను కొనుము (పటమును చూడుము). H పటము 1 R XOX, YOY అను దీర్ఘచతురస్రాకార అక్షరేఖల ననుసరించి P, PI యొక్క నిరూపకములు (X,Y), (X', X) అనుకొనుము. P',P Pl, P ల గుండా పోవు సరళ రేఖ X - అత రేఖ యొక్క ధన దిశతో కోణమును చేయు ననుకొనుము. PN, PIN: లంబములను IPH A నకును, PR లంబమును PV N కును గీయుము. Rppi= 8 అని సులభముగా గ్రహింపనగును. 1 మరియు RP=[Y' - Y); (PR=X' - X) కాబట్టి tan e=tan RPP: = RP_Y - Y

PR X-X P బిందువు వక్ర రేఖపై చలించుచు, కౌను చేరుకొలది PP సరళ రేఖ తన అంతిమస్థానమున, వక్ర రేఖకు, P వద్ద స్పర్శరేఖ యగును. X - అక్షర రేఖతో, P వద్ద గీయబడిన - స్పర్శరేఖ, 9 కోణమును జేసిన, tan B యొక్క విలువ tan B యొక్క అంతిమవిలువకు సమానము. అనగా యొక్క అంతిమవిలువకు సమానము. ఈ అంతిమ విలువనే P వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖ యొక్క "వాలు" Y-Y X-X అందుము. ఒక బిందువువద్ద స్పర్శరేఖ వాలు నిశ్చయింపబడిన 'యెడల, ఆ బిందువువద్ద స్పర్శరేఖ గీయనగును. 1 ఇపుడు (y - y) ను (8y) చేతను, (x - x) ను (8x) చేతను గుర్తించుము. P బిందువు P ను చేరిన, 8y, 6x 549 కలనగణితము యొక్క విలువలు సున్నను చేరును. కావున P వద్ద స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు = Imit Sy dy Ex→o 8x dx అనువక్ర రేఖ యొక్క సమీకరణము ) = f (x) అను ఏక విలువ (Single Valued) ప్రమేయముచే తెలుపబడు ననుకొందము, X లో వచ్చిన మార్పు 6 అయిన, ప్రమే యము f(x) యొక్క విలువ f (x + 6x) నకు మారును. కావున Öy = f (x+6x) - f(x) - 6y _f(x+6x) - f(x) లేక స్త్రీ Sx Sx P యొక్క స్పర్శరేఖయొక్క వాలు = limit f (x+6x) - f(x) 8x->0 f 8x ~f ఈ అంతిమవిలువ (ఉండినచో) / (జ) యొక్క వ్యవ కలన గుణకము (differential coefficient) అందురు. దీనిని f '{x) అను సంకేతమున గుర్తింతురు. ప్రమేయము f(x) యొక్క వ్యవకలన గుణకమువలన, Y=f(x) అను వక్రరేఖ పై (x, y) అను బిందువువద్ద గీయబడిన స్పర్శ రేఖయొక్క వాలును గ్రహింపగలము. ఉదా. y=X. ఇచట కే (x) = x కావున .. f(x+&x) - f(x) (x+6x) - x Ex limit f(x+6x) -f(x) = 2x Ex =2x -2x+8x అనగా y=x' అను వక్ర రేఖ పై (x, y) బిందువు వద్ద గీయ 1 బడిన స్పర్శరేఖ యొక్క వాలు - 2 అగును. ఒక వేళ - ఒx X=3, y=9 అయిన, y= వక్ర రేఖపై (3, 9) బిందువు వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖవాలు =2x3=6 అగును. x యొక్క ప్రత్యేక విలువ ఇచ్చినపుడు f ' (x) యొక్క విలువ f '(xi) అగును. ఈ విలువ y = f (x) వక్ర రేఖకు (Xi, Pi) వద్ద గీయబడిన స్పర్శరేఖ యొక్క ) వాలును తెల్పును, కావున (x,, 1) వద్ద y =f(x) సక రేఖకు గీయబడిన స్పర్శ రేఖ యొక్క సమీకరణము (y-yi)=(x-x) f' (x) అగును. కాబట్టి f(x) ను కనుగొనగలిగినపుడు, ఏ బిందువు వద్ద నైనను స్పర్శ రేఖను నిశ్చయింపవచ్చును. 8x శూన్యమును జేరునపుడు, f(x+8x)-f(x) కలనగణితము యొక్క అంతిమ నిష్పత్తి (ఉండినచో) కనుగొనుటచే, f (x) ప్రమేయము యొక్క వ్యవకలన గుణకమును కను గొనగలము. అందుచే =f(x) అను పక్రరేఖకు ఏ బిందువు పెద్ద నైనను స్పగ్య రేఖను నిర్ణయించనగును. ఈ క్రింది సూల ఫలితములను సులభముగా కలనము చేయనగును : ప్రమేయము (1) ఇచ్చిన స్థిరరాశి K (2) ఞ (గొ యిచ్చిన యేదైన స్థిరరాశి) (3) sin x (4) cos x (5) tan x (6) cot x (7) kf(x) (8) f(x)+g(x) (9) f(x)g(x) (10) f(x) g(x) - వ్యవకలన గుణకము శూన్యము COS X - sin x sec³ x - cosec* x ఇచట కోణము రేడియలలో కొలువబడును. k f'(x) f'(x)+g'(x) f'(x)g(x)+g'(x)f(x) f'(x)g(x) - f(x)g(x) {g(x)} పై ఫలితముల నుపయోగించి, ప్రతి సాధారణప్రమేయము యొక్క వ్యవకలనగుణకమును కనుగొనగలము. f(x) యొక్క వ్యవకలనగుణకమగు / '(x) ను మొదటి క్రమవ్యవకలనగుణక మందురు. f"(x) యొక్క వ్యవక లన గుణకముండినచో రెండవ క్రమవ్యవకలనగుణకమందురు. దానిని f"(x) చే గుర్తింతురు. = f(x) అను ప్రమే యముయొక్క మొదటి, రెండవ క్రమవ్యవకలన గుణ అను సంకేతములచే వరుసగా ములను dy dy dx' dx' 器 గుర్తింతురు. ఇట్లే f (x) యొక్క శివ క్రమ వ్యవకలన గుణకమును f (n)(X) అనియు, y యొక్క వక్రమ వ్యవకలన గుణకమును అనియు గుర్తింతురు. x=0 వద్ద, J(X) యొక్క "సక్రమ వ్యవకలన గుణక ప్రత్యేక విలువ (n)(0) అగును. · day dx™ వ్యవకలన గణితమున (differential calculus) మొదటి సగటు విలువ సిద్ధాంతము (First Mean Value Theorem) క్రింద నివ్వబడినది. f (b) = f (a) + (b-a)ƒ'(x). ఇచట Xt, (4, b) ల మధ్య కు గల ఉచితమగు విలువ. ఈఫలితసాధారణీకరణము నిట్లు వ్రాయనగును. సంగ్రహ ఆంధ్ర (b-a) in f {V}=f(x)+(6 - u) f (x) + ... + ƒ³(x₁) ఇచ్చటగూడా X., (4, 6) ల మధ్య x కు గల ఉచితమగు విలువయే. ఈ సిద్ధాంతము కొన్ని నిబంధనములకు లోబడి, f(x) ను అసంణే.సి (Infinite Series) గా వ్రాయుట కుని యోగించును. తత్ఫలిన మీ క్రింద నివ్వబడినది. f(x) =f(o)+xf'(o)+ ?"(o)+... అనంతము వరకు. మొదటి, 22 రెండవ క్రమ వ్యవకలన గుణకముల సహాయమున మహర్తమ న్యూనతను దశలకు సంబంధించిన సమస్యలను పరిష్కరించనగును. y=f(x) అను సమీకర ణముగల యుక వక్ర రేఖను పరిశీలింతము. వక్ర రేఖ పై A1 లిందువు యొక్క y - నిరూపకము (ordinate) దాని దగ్గరి ప్రతిబిందువు యొక్క నిరూపకము కంటెను పెద్దది. ఇట్టి నిరూపక మును క (x) యొక్క మహత్తమ విలువ యందుము. (X) నకు ఒకటికంటె యెక్కువ మహ త్తమ విలువలు గల బిందువు లుండవచ్చును. ఉదా॥ పటమున 4, 4, 4, బిందువులు. 550 పటము 2 - Publ A X ఇల్లే B బిందువు యొక్క నిరూపకము దాని దగ్గరి ప్రతి బిందువు యొక్క - నిరూపకముకం టేను చిన్నది. ఇట్టి బిందువును న్యూనతమ బిందువందురు. పటమున B. బిందువుగూడ న్యూనతమ బిందువే. మహత్తమ విలువ న్యూనతమ విలువకంటే ఎక్కువగా నుండనవసరము లేదని పటము జూచి గ్రహింపగలము (చూడుము B,, As అంతేగాక ఒక ప్రమేయమునకు మహత్తమ న్యూనతమ విలువ లుండినను, ఆ ప్రమేయమునకు మహత్తమ విలువ అన్నిటికంటె పెద్ద విలువయు, న్యూనతమ విలువ అన్నిటి కంఠే చిన్న విలువయు లేకుండవచ్చును. మహత్తమ, విజ్ఞానకోశము - న్యూనతమ విలువలను 'అత్యంత' (extremum) విలువ అనియు అందురు. మహ త్తమ నిరూపకము గల 41 వంటి బిందువువద్ద f (x) సున్న విలువను, f"(x) ఋణ విలువను గలిగి యుండునని రేఖాగణిత విచారణముల వలన తెలియును. అట్లే న్యూనతమ విలువగల B, వంటి బిందువు వద్ద f(x) సున్న విలువను, "(x) ధన విలువను గలిగియుండును. ఈ ఫలితములవలన అత్యంత విలువలుండినచో, వానిని పరిశోధించనగును. కావున 3x - 3 = 0 ఉదా. f(x) = x* - 3x f ' (x) = 3x - 3, అత్యంత విలువ వద్ద '(x) = లేక X = +1 మరియు f(x) = 6x : ఇది x = + 1 అయిన - ధన విలువను, X= 1 అయిన ఋణ విలువను గలిగి యున్నది. కావున f (x) = x* ~ 3 x . l x= + 1 వద్ద న్యూనతమ విలువను (= -2), x= వద్ద మహ త్తమ విలువను (=2) గలిగియున్నదని గ్రహించ గలము. మరొక విధ మైన అత్యంత విలువలకు సంబంధించిన సమస్యలను వివరించుటకు, ఒక ప్రమేయమును గాని లేక ప్రమేయములను గాని నిర్ణయించవలసి యుండును. ఉదా హరణ కి క్రింది సమస్య గమనించనగును. "నిర్దిష్ట పరిథి గలిగి, మహ త్తమ వైశాల్యమును గలిగిన బంధ రేఖ (closed curve) ను నిర్ణయించుట.” 1 అట్టి బంధ రేఖ, వృత్తమని వైశేషిక కలనగణిత (calcwius of variations) పద్ధతులచే వివరించనగును. K 5 వ్యవకలనము (differentiation) యొక్క ప్రతికల్పము నిక విచారింతము. F (X) అను ప్రమేయము యొక్క వ్యవకలన గుణకము / (x) అనుకొందము. అపుడు F(X), f(x) యొక్క ప్రధాన (primitive) మందుము. స్థిరరాశియైనను, [F(x)+k] గూడా f(x) యొక్క ప్రధానమే యగును, f (x) యొక్క ప్రధానమును నిర్ణ యించుట నే, నీ (x) యొక్క సంకలన (integration) మందురు. నిర్దిష్ట ప్రమేయము (x) యొక్క ప్రధానముచే, y=f (X) అను వక్ర రేఖాబద్ధమగు వైశాల్యమును, అక్ష మును, X-0. జరీ అను నిరూపక రేఖలను కనుగొన 551 కలనగణితము వచ్చును. ఈ వైశాల్యమును “ / (x) dx అను సంకేత ముచే గుర్తింతురు. దీనినే / (x) యొక్క నియత సంక dx = లితము (definite integral) అందురు. ( f (x) d x = F (b) - F (a) అని సులభముగా నిరూపింపవచ్చును. సంకలన గణితమునకును, వ్యవకలన గణితమునకును గల సంబంధ మిదియే. కలన గణిత వికాసమునకు పూర్వము వైశాల్యమును కనుగొనవలసిన ప్రతి సమస్యకును నొక ప్రత్యేక పద్ధతి నుపయోగించవలసియుండెను. కలనగణితమునకు మూలా ధారమైన సిద్ధాంతమును కనుగొన్న న్యూటరీ, లిబ్నిజ్ మహాశయులు తప్పక పొగడదగినవారే. - పై పద్ధతి యొక్క మహిమ నుదహరించుటకు, y=cos x, 3 X = అతము, x=7, x= స్త్రీ అను నిరూపక రేఖల మధ్యస్థ వైశాల్యమును కనుగొండము. వలసిన వైశాల్యము = ( … f (x) dx= Fi - √ √ f(x) dx=(3) 我 -F (7) - Sin - Sin - 8-1 r = 4 √2° ప్రక్క పటములో జూపినరీతిని, పై వైశాల్యమును, -నిరూపక రేఖలచే అనేక చిన్న చిన్న భాగములుగా చేయదగును. పటము 3 ఈ భాగముల సంఖ్య అనంతముగా పెరిగినపుడు, ప్రతి దాని యొక్కయు వైశాల్యము శూన్యమును జేరును. ఇట్టి సూక్ష్మరాసుల మొత్తముయొక్క అంతిమవిలువయే వైశాల్యమగుట స్పష్టము. ఈ విషయమును గ్రహిం చుట కలన గణితమున నతి ముఖ్యము. ఖా మొ.