సంగ్రహ ఆంధ్ర విజ్ఞాన కోశము/మొదటి సంపుటము/ఆర్షగణితము
ప్రాంతీయ సభలనుండి యెన్నుకొనబడిన ప్రతినిధులు సార్వదేశిక ఆర్యప్రతినిధిసభకు అధికారుల నెన్నుకొందురు. అందునను ఒక కార్యనిర్వాహక వర్గముండును.
ప్రతి ఆర్యసమాజమును సప్తాహమున కొక పర్యాయము సత్సంగ మను పేరిట సదస్యుల నెల్లరను సమావేశ పరుచును. ఆ సమావేశమున సంధ్య, అగ్నిహోత్రము, భగవద్భజనలు జరుపును. విద్వాంసుల ద్వారమున ధర్మోపదేశము చేయించును. విజ్ఞులమూలమున జ్ఞాన చర్చ జరిపి వైయక్తిక, సామాజిక జీవనౌన్నత్యమునకు పాటు పడుచుండును.
వార్షిక సమావేశముల సాయమున వైదిక ధర్మ ప్రబోధము నొనరింప శక్తి కొలది యత్నించును.
ఇట్టి యార్యసమాజములు భారత దేశమునం దంతటను అనేకము లేర్పడినవి. పంజాబు, ఉత్తరప్రదేశము, బీహారు మధ్యప్రదేశము మున్నగు ప్రాంతములలో ప్రాంతీయ ప్రతినిధిసభ లేర్పడి నిజధర్మమును నిర్వర్తించుచున్నవి.
విదేశములందు ఆఫ్రికా, ఇంగ్లండు, అమెరికా, బర్మా, అస్సాము మున్నగు దేశములందును ఆర్యసమాజములు నెలకొల్పబడినవి.
భారతదేశమున ఢిల్లీనగరమున నున్న సార్వదేశిక ఆర్యప్రతినిధిసభతో ఎల్ల దేశముల సమాజములకును సంబంధ మున్నది. భారతదేశమునుండి వెళ్ళి విద్వాంసులైన ధర్మప్రచారకులు విదేశములందు వైదిక ధర్మప్రచారము నొనర్చుచున్నారు.
ఆర్యసమాజము నడుపు సంస్థలు :- బాలురు, బాలికలు బ్రహచర్యపూర్వకముగ జాతీయపద్ధతులతో విద్యల సభ్య సింప ననువుగ ననేక సంస్థల నెలకొల్పి విద్యావ్యాప్తికి తోడ్పడుచున్నది. అందు గురుకులములు, దయానంద ఆంగ్ల వైదిక కళాశాలలు (D. A. V. Colleges) అతి ముఖ్యములు.
ఇవికాక అనాథ శరణాలయములు కూడ స్థాపించి వానిని నిర్వహించుచున్నది. దిక్కులేని పిల్లల నందు చేర్చి వారికి హస్తకళలతో పాటు విద్యాప్రదాన మొనర్చి స్వతంత్రులై జీవనోపాధి గడుపుకొనదగిన సామర్థ్యమును కలిగించుచున్నది.
వైదిక సాహిత్యమును ప్రచారముచేయు నుద్దేశముతో ముద్రణాలయములను నెలకొల్పి వేదాదిగ్రంథములను ముద్రించుచున్నది.
దేశ విదేశములందు వైదిక ధర్మముల నుద్బోధించుటకు యోగ్యులయిన ప్రచారకులను సిద్ధముచేయుట కనువగు ఉపదేశక విద్యాలయములను స్థాపించి నిర్వహించుచున్నది.
ఈ సంస్థలన్నియు నాయా ప్రాంతములందు ప్రాంతీయ ఆర్యప్రతినిధి సభల యధీనమున నడుచుచున్నవి. వీని నిర్వహణమునకు వలయు ధనము విశేషభాగము సమాజకోశమునుండియే వెచ్చింపబడును. విద్యాసంస్థల నిర్వ హించుటకు ప్రతి సంవత్సరమునందును సుమారు 25 లక్షల రూపాయలు వెచ్చింపబడు చున్నవి.
పం. గో.
ఆర్షగణితము :- ఛాందోగ్యోపనిషత్తునందు (vii. 1. 2) నారదముని సనత్కుమారునితో తానదివరకు నేర్చిన విద్యలను చెప్పుచు రాశివిద్యను, నక్షత్ర విద్యను పేర్కొ నెను రాశివిద్యయనగా గణితమనియు, నక్షత్రవిద్యయనగా జ్యోతిషమనియు అర్థము. ఆర్షసంప్రదాయమున తత్త్వజ్ఞానోపయ క్తములగు విద్యలు తక్క మిగిలిన విద్యలన్నియు తత్ప్రతిబంధకములుగా ఉపేక్షింప బడినవి. అయినను శ్రోతస్మార్త క్రియలకు అవసరమగు నంతమటుకు ప్రతి విద్యలోను పరిపూర్ణతను ఆయా శాస్త్రములు పొందియే యున్నవి. అట్టి షడంగములలో జ్యోతిషము మూర్ధన్యమని వేదాంగ జ్యోతిషము చెప్పును. అట్లే యాగములందు ప్రధానమగు అగ్ని వేదియొక్క నిర్మాణమును గూర్చి బ్రాహ్మణము లందును, కల్ప సూత్రములందును చెప్పుచు గణితమును అనేక విధములుగా ఉపయోగించిరి. ఇట్లు వైదిక ఋషులచే ఉపయుక్త మైన గణితమందలి కొన్ని విషయము లిచట పరిశీలింప బడును. ఇచట ఆర్ష గణితమనగా ఋషి ప్రోక్త గణిత మనియే అర్థము.
అంకగణితము (Arithmetic) :- ఒకటి మొదలు పరార్థమువరకుగల సంఖ్యలు వేదములో ననేక చోట్ల వాడ బడుట యేగాక కాఠక సంహితాదులలో * సంఖ్యలుగా
- . తై. సం. 4. 4. 11; కాఠక సం. 17. 10; మైత్రాయణీ సం. II 1.14; కపిషల సం. 26. 9.
పేర్కొనబడినవి. వాటినిబట్టి 1 మొదలు 10 వరకు, 10 నుండి 100 వరకు తరువాత సహస్ర, అయుత, నియుత, ప్రయుత, అర్బుద, న్యర్బుద, సముద్ర, మధ్య. అన్త, పరార్థపర్యంతము కనిపించును. అనగా 10° మొదలు 1012 వరకు గల సంఖ్యలు వాడబడినవి. అథర్వ వేదములో (XIX. 22. 3: 23.21) క్షుద్ర =0 గను, ఋచ్చ. అనృచ్చపదములు వరుసగా ధన,ఋణ సంఖ్యావాచకములుగా నున్నవి. లీలావతియందు ఖర్వ (1010), మహాపద్మ (1012), నీల ( 1013 ), జలధి (1014) మొదలగునవి మరికొన్ని చేర్చబడి పరార్థమ్ అనునది 1017 గా చెప్పబడెను. ఏక, ద్వి... దశ, శత. సహస్ర మొదలగు వాటికి నిరుక్తములో (III. 10) వ్యుత్పత్యర్థములు చెప్పబడెను. ఈ సంఖ్యలు నేటి దశాంశ పద్ధతి కనుగుణమగు స్థానక్రమమునే కలిగియున్నవి. మహాభారతమందు (134.16) “నవైవ యోగో గణనేతి శశ్వత్' అని సంఖ్యల గుర్తులు తొమ్మిదేనని చెప్పబడెను. పెద్ద మొత్తములను చెప్పునపుడు శత. సహస్ర పరిమాణములను వాడుచుండెడివారు షష్టిమ్ సహస్రాణి, ద్వాస ప్రతిస్సహస్రాణి (72,000) (ఋ iv. 16. 13) మొ. సాధారణముగా 'అంకానాం నామతో గతిః' అను న్యాయమునుబట్టి 'షణ్ణవతి' (96), 'చతుస్సప్తత్యధిక చతు శృతాని' (47, 400) వంటి ప్రయోగములే అధికముగా నున్నను వేదములలో కొన్నిచోట్ల 'సప్త శతాని వింశతిః* (720) (ఋ. 1. 164. 11); 'షష్టిమ్ సహస్ర నవతిమ్ నవ” (60099) (ఋ.1.53. 9) వంటి ప్రయోగములుకూడ కనిపించును. వైదిక ఋషులకు అంకగణితములోని సంకలన వ్యవకలనాది ప్రధాన పరికర్మలు (fundamental operations) తెలియునని ముందు చెప్ప బోవు బ్రాహ్మణాదులలోని విషయములనుబట్టి తెలియగలదు.
భిన్నములతోకూడిన సంఖ్యలు అనేకచోట్ల కనుపించును. త్రిపాద (1/3) (ఋ x. 90-4); కలా ( 1/10) (మైత్రా సం. iii. 7. 7.); పంచదశ భాగ ( 1/13 ) (ఆ.శు. X. 3) సవాదౌ ( 2 1/4 ), అర్ధతృతీయ ( 2 1/2 ) (ఆ.శు. III, 20); సప్తభాగ (1/7), నవమీకలా ( 1/9 ) ఇత్యాది ప్రయోగము లనేకములు కనుపించును. అట్లే వర్గము, వర్గమూలములతో గూడిన ప్రయోగములు కూడ కలవు శుల్బసూత్రములందును వాటికి మూలములగు బ్రాహ్మణము లందును వర్గములతో కూడిన నిర్మాణము లనేకములు ఉన్నవి. వాటియందు వర్గమూలములను ద్వికరణి(V2) త్రికరణీ ( 3 ), అనియు (ఆ.కు. V) దశకరణీ (10), చత్వారింశత్కరణీ (40) అనియు (కా.రు ii. 8.8) వాడిరి. కనుక కరణీశబ్దమునకు వర్గమూలమని యర్థము. t శ్రేఢిరూపములోనుండు సంఖ్యలు తైత్తిరీయ సంహిత యందనేకములు కనుపించును. రుద్రాధ్యాయములో రెండు కలవు. (i) 1, 8, 5 ... (ii) 4, 8, 12...
88 48 పంచవింశ బ్రాహ్మణములో (XVIII. 3) యజ్ఞ ఫలితములు భూమితి శ్రేఢిలో (Geometrical Progression) చెప్పబడెను. 24, 48, 96,....49152, 98304, 196608, 393216.
తైత్తిరీయోపనిషత్తులో (ద్వి. ప్ర.) బ్రహ్మజ్ఞానానికి కలుగు ఆనందము 100, 100, 1 అను శ్రేఢీరూపములో చెప్పబడెను. ... ఆ ...100⁰⁰ శతపథ బ్రాహ్మణములో (X 5.4.7) ఒక అంకగణితశ్రేణి మొత్తముచేసి చెప్పబడినది. ఆ శ్రేఢి యొక్క మొదటిపదము 24. భేదము 4, పదముల సంఖ్య 7 ఐన మొత్తమునకు మూడురెట్లు 756 అగునని యున్నది.
కాలమానము, దైర్ఘ్యమానము బ్రాహ్మణములలో చెప్పబడినవి. శత. బ్రా xii. 3, 2. లొ మీదిగువ విధముగా కలదు.
కాలమాన ప్రాణ౪: 15 ప్రాణులు= 1 ఇడ. 15 ఇడలు = 1 ఇత రై = = 1 15 ఇతరులు= 1 ఉ.ప్ర. 15 ప్రలు = 1 ముహూర్తము. ముహూర్తములు = 1 దినము. (ము= 48 నిమిష = ములు) (14 ము=1 గంట.) 80
- కరణీశబ్దమునకు రేఖాగణితమందు' భుజమను వర్ధము కూడ కలదు.
$ 1 ప్రాణ=yy సెకండు (సుమారు) 791 శుల్బకారులు బ్రాహ్మణములనుండి సంగ్రహించిన దైర్ఘ్యమాన మిట్లుండును :- 14 అణువులు = 1 తిల; 34 తిలలు =1 అంగుళము; 12 అం. = 1 ప్రాదేశము; 13 అం. = 1 వితస్తి; 15 అం. = 1 పదము ; 24 అం = 1 అరత్ని ; 32 అం= 1 జానుపు : 36 అం= 1 శమ్య; 86 అం. = 1 యుగము, 120 అం., = 1 పురుషము; 400 అం. = 1 అక్షము.
రేఖాగణితము (Geometry):- దీనిని ఆర్ష సంప్రదాయమున రజ్జువనియు, శుల్బమనియు పేర్కొనుచుండెడి వారు, రజ్జువనగా త్రాటితో కొలచి చేయు గణితమనియు, శుల్బమనగా సమిధలుంచుటకు తగిన వేదుల నిర్మాణమును చెప్పు గణితమనియు అర్ధములు. యజ్ఞ సాఫల్యము కొరకు వాట్లయందు పయుక్తము లగు వేదియొక్క నిర్మాణములు సరియగు కొలతలతో శాస్త్రబద్ధము కావింపబడెను. వాటిలో బోధాయన, ఆపస్తంబ, కాత్యాయన శుల్బసూత్రములు ఆయా ఋషిప్రో క్తములగు శ్రోత సూత్రములు కనుబంధములుగా దొరకు చున్నవి. అర్ష రేఖాగణితమున కివియే ఆధారములు. వీటిలోని కొన్ని నిర్మాణము లిచట ఉదహరింపబడును, నవీన భాషా చరిత్రకారుల ననుసరించి బోధాయనుడు క్రీ. పూ. 1200, ఆపస్తంబుడు క్రీ.పూ. 800, కాత్యాయనుడు క్రీ. పూ. 500 ల నాటి వారని గ్రహింపవలెను.
1. కర్ణసూత్రము : "దీర్ఘస్యా ణ్ణయా రజ్జుః పార్శ్వమా నీతిర్యజ్మా నీచయత్ వృథగ్భూతే కురుతస్తదుభయం క రోతి” (అ. శు. i.8 ) (కొద్ది భేదముతో బోరు. i. 48; కా. శు. ii. 11) అనగా "దీర్ఘచతురస్రము యొక్క కర్ణము (చేయు చతురస్రము) పొడవు వెడల్పులు విడిగా చేయు వాటి (చతురస్రముల) మొత్తము నకు సమానము.” దీనినే ఆధునిక పైథాగరస్ (540.B.C.) సిద్ధాంతముగా చెప్పుదుము. దీని విలోమము సూత్ర రూపమున లేకున్నను ఉపయోగములు కనుపించును. శతపథ బ్రాహ్మణములో (XIII. 8.1.) పైతృక వేది నిర్మాణము దిక్కులందు అంబకోణము లేర్పడవలెనని యున్నది. దానిని కాత్యాయనుడు (ii.6) “దిక్కులవైపు భుజములుగల చతురస్రమును నిర్మించి దాని భుజముల 792 మధ్య బిందువులను కలుపగా నేర్పడు చతురస్రము దిక్కులవైపు లంబకోణములు కలదిగను పెద్ద చతురస్ర ములో సగమువైశా ల్యము కలదిగను ఉండు" నని చెప్పెను. EFGH చతుర స్రము దిక్కులవైపు అంబ కోణములు కలిగి ABCD చతురస్ర వైశాల్యములో నిగ ముండును. H పటము 1. ఈ కర్ణ సూత్ర మును చతురస్రమున కుపయోగించి ఆప స్తంబుడు /2 యొక్క విలువను కనిపెట్టెను. (ఆ. శు. I. 10; కా శు. II. 13) అది 'భుజప్రమాణమునకు దాని మూవడ వంతును, దీని నాలుగవ వంతును కలిపి యీ నాలుగవ వంతులో 84 వ వంతు తీసివేయవలెను.' అనగా √ √² = 1 + 1/3 + 1 - 1 = 1.4142156...... 3.4 3.4.34 ఆధునిక పద్ధతిలో కనిపెట్టబడిన దీనివిలువ 1.414218. ఆపస్తంబ శుల్బసూత్ర వ్యాఖ్యాతయగు కపర్దిస్వామి, దీనిని నీలకంఠాచార్యుడు ఇట్లు నిరూపించెనని చెప్పెను. 2.12*=288=289-1=17ª-1 12/2=/173-1=/(17–0) (17-1) 17-(2-17) (17-2-17) సుమారు = 17 - =12+4+1- ·/2=1+4+ 1 2-17 1 2.17 1 - 1 3-4 3-4-34 సుమారు ఇట్లు కర్ణసూత్రము ననుసరించి నిర్మాణము లనేకములు శుల్బకారులచే చెప్పబ డేను. ఒక క్షేత్రమును సమాన వైశాల్యముగల మరొక క్షేత్రముగా మార్చుట :- ii. చతుర స్రమును దీర్ఘచతురస్ర ముగా మార్చుట. (కా.కు. III. 4.) చతురస్రము యొక్క ఒక కర్ణముచే భాగింపబడిన సగమునకు రెండవ కర్ణముచే రెండవ సగములో నేర్పడు విభాగములను కలుపవలెను. ABCD చతురస్రములో ABC భాగమునకు ADO ను GDO ను AB, BC భుజముల మీద చేర్చగా ACEF అనుదీర్ఘ చతురస్రము ఏర్పడును. అది ABCD అను చతురస్రముతో సమాన వైశాల్యము కలదియగును. (పటము 2)
దీనినే దశభుజము గల దీర్ఘచతురస్రముగా మార్చవలెనన్న (ఆ. శు.iii.i) నిర్మాణ మిట్లుండును. దత్త భుజము (m) తో చతురస్ర (ABCD) భుజము (DA) ను ఖండించి ఆ బిందువు (E) నుండి (CE అను) కర్ణమును మరొక భుజము (BA ను పొడిగించగా P వద్ద) ఖండించు వరకు పొడిగించవలెను. (పటము 3)
ఈ రెండు ఖండన బిందువులనుండి చతురస్ర రెండు భుజములకు సమాంతర రేఖలు గీయవలెను (సుందరరాజీయ వ్యాఖ్య). దత్త భుజము చతురస్ర భుజముకన్న పెద్దదగులో చతురస్రము యొక్క రెండు నిలువు భుజముల (DA, CB) ను దాని (m) కి సమానముగా పొడిగించి, ఒకదాని చివర (C) నుండి కర్ణమును గీయగా అది చతురస్రము యొక్క అడ్డభుజము (BA) ను ఖండించు బిందువు (P) వద్ద దీర్ఘ చతురస్రపు దత్త పరిమాణ భుజము (GH) గీయవలెను (పటము 4). ABCD చతురస్రములను m భుజము గల దీర్ఘ చతురస్రములుగా చేయగా GHFC లు కోరిన దీర్ఘచతురస్రము లగును. ఉపపత్తి సులభము. దీర్ఘచతురస్రమును చతురస్రముగా మార్చుట ముందు చెప్పబడును.
(iii) చతురస్రమును వృత్తముగా మార్చుట (ఆ. శు. iii. 2; కా. శు. iii. 13, 14) :- 'చతురస్ర మధ్య
బిందువునుండి కోణమునకు గల దూరములో, భుజము యొక్క సగమును తీసివేయగా మిగిలినదానిలో మూడవ వంతును ఆ సగ భుజమునకు కలుపగా వచ్చిన పొడవు వ్యాసార్ధముగా వృత్తమును గీయవలెను.' ఇది స్థూలముగా చతురస్ర వైశాల్యము కలిగియుండును.
ఉదా : చతురస్ర భుజము 16 ” అనుకొనుము. w+9 555w=16√2″=22·6272″ శ్రీ కర్ణము -శ్రీ భుజము =11-3136" - 8"=3.3136" వ్యాసార్ధము = శ్రీ భుజము ++ (3.3136) = 8"+1-105" (దీనిని బట్టి గా=3.088......) -9.105"
వృత్తమును ఛతురస్రముగా మార్చవలెనన్న దాని వ్యాసమును 18 భాగములు చేసే వాటిలో 18 భాగముల భుజముతో చతురస్రమును నిర్మింపవలెను. (కా, శు. iii. 14. కారిక) (దీనిని బట్టి గా=3-160. వచ్చును.)
(iv) కొన్ని సమానములగు చతురస్రములను ఒకే పెద్ద చతురస్రముగా మార్చుట (శా. శు.vi. 7.) :-
'దత్త చతురస్రములను ఒకటి తక్కువగా పంక్తిలో పేర్చిన ఆ సరళ రేఖ భూమి యగును. ఒక టెక్కువగా పేర్చిన వచ్చు పొడవును రెండుసమభుజములుగా అమర్చిన దాని యెత్తు కోరిన చతురస్ర భుజమగును.' ఇచట దత్త చతురస్రముల భుజము 2 పరిమాణములు మరియు వాటి సంఖ్య n. అయిన నిర్మించవలసిన త్రిభుజము యొక్క 
భూమి (n-1)a పరిమాణములు. ఈ భూమి చివరలకు (n+1)a పరిమాణములు గల | తాడును కట్టి దాని మధ్య శీర్ష కోణము వచ్చునట్లు లాగవలెను. దీని యెత్తు AD క్రొత్తగా నిర్మింపవలసిన చతురస్ర భుజమగును. దీని విలువ /1.2 పరిమాణములని కర్ణసూత్రము (పైథాగరస్ సిద్ధాంతము) తో నిరూపింపవచ్చును, (పటము 5),
na³. - (+21)' a' - ("=¹²)' a 2 a* *
ఇట్లు త్రిభుజములను చతురస్రములుగను, చతురస్రములను త్రిభుజములుగను మార్చుట, పెద్ద చతురస్రమునుండి కావలసిన చిన్న చతురస్రమును ఖండించుట, కొన్ని అసమాన చతురస్రములను కలుపుట మొదలగు పద్ధతు లనేకములు చెప్పబడెను. ఆ యా వేదుల నిర్మాణములకు కావలసిన ఇటుకల ఆకారములు, సంఖ్యలు కూడ చెప్ప బడెను.
శ్యేనచితికి కావలసిన ఇటుకల ఆకారములు, సంఖ్యలు, 4 అవ్యక్తరాసులుండు సమకాలీన సమీకరణములతో గాని సాధింపబడనివిగా నుండును. ఇట్టివి బౌ. శు. iii. 24లోను, ఆ. శు. xi లోను చెప్పబడినవి. వాటిని ఈ పరిమిత మగు వ్యాసమందు వివరించుటకు వీలు కాదు.
బీజగణితము (Algebra): వైదిక గ్రంథములందు రేఖాగణితము ప్రత్యేకముగా శుల్బమను పేరుతో కాన్పించినట్లు బీజగణితము విడిగా కనిపించదు. కాని బ్రాహ్మణములందును, శుల్భములందును క్షేత్రములను సాధించునపుడు బీజగణిత సిద్ధాంతములు కొన్ని వాడబడెను, ఆ యంశము లిచట ఉదాహరింపబడును.
i. చతురస్రమును దీర్ఘ చతురస్రముగా మార్చునపుడు వెనుక చెప్పబడిన పద్ధతి ననుసరించి ax=c2 ( a = దత్త భుజ పరిమాణము ) వంటి సమీకరణము ఏర్పడును,
ii శతపథ బ్రాహ్మణము (x. 2-3-7-10) లో మహా వేదిని గూర్చి చెప్పబడెను. దీని నిర్మాణము ఆపస్తంబునిచే వివరింపబడెను. (ఆ. శు.v.1.) అది ఒక సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజము (Isosceles Trapezium). దాని భూమి 30 అడుగులు, రెండవ సమాంతర భుజము (ముఖము) 24 అ., ఎత్తు 36 అ.లు ఉండును. దీని వైశాల్యము 972 చ. అడుగులు. ' వైశాల్యము కొన్ని చదరపు పరిమాణములు ఎక్జువకావలెనన్న మొదటి దైర్ఘ్య పరిమాణము లన్నియు ఎక్కువ కావలెను, అట్లెక్కువైన క్రొత్త పరిమాణము (unit) x అయిన
36x. (24x+30x) = ల్యములో వృద్ధి) 972x=972+m లేక x=/1 + m 972 - 972 + m (m చ.ప. లు వైశా ఇట్టి విలువ 101 అయినప్పటి నిర్మాణ క్రమ మ మును కాత్యాయనుడు వివరించెను. (కాళ్లు. vi. 2) iii శ్యేనచితి యొక్క వృద్ధిని చెప్పెడి ఒక పద్ధతి
ఇది బీజ గణితములో లంబకోణ త్రిభుజములందుభుజముల నిష్పత్తిని తెలుపును. సంపూర్ణవర్గ సమీకరణమునకు చెందియున్నది. దాని ఆకా రము కొలతలు పురుష ప్రమాణములో 6వ పటములో చూపిన విధముగా నుండును. దాని వైశాల్యము 74 చతురపు పరిమాణములు, m చతురపు పరిమాణములు వైశాల్యములో వృద్ధియైనచో క్రొత్త దైర్ఘ్య పరిమా ణము అగు ననుకొందము, (Increased unit of length=x) అయిన, 2x.2x+2(x+¥)x+(x+it)x=7++m. 7x°+ix=7}+m. ఈ సమీకరణములో m యొక్క పెద్ద ఘాతముల విలువల ను పేక్షించిన m x=1+ … (దాదాపు)* అగును. కాత్యాయనుడి విలువతోటే వేదివృద్ధిని చెప్పెను. (కా, శు.vi 4). iv. శుల్బకారులు లంబకోణ త్రిభుజములను సాధించిన విధ మీ క్రింద సమీకరణము ననుసరించి యుండును : x²+y'=z”….......…………………………………. (1) కాత్యాయనుడు దీర్ఘ చతురస్రమును చతురస్రము (Square) గా మార్చునపుడుకూడ ఇదేరకమగు సమీ కరణమును పొందగలిగెను. దాని నిర్మాణ మిట్లుండును: (కా. శు. ii 2.) “దీర్ఘ చతురస్రపు పొడవును వెడల్పుతో ఖండించి మిగిలిన భాగమును అట్లే ద్విఖండన చేసి ఒక విభాగమును దక్షిణవైపునను, రెండవ దానిని తూర్పు వైపునను చేర్చగా నేర్పడుదానికి కొంత కలిపి (చతు పటము 7 ఆర్షగణితము రస్రమును) పూర్తిచేసి తగ్గించవలెను. " దీనినిట్లు వివరించ వచ్చును. m పరిమాణములు పొడవు, 1 పరిమాణములు వెడల్పుగల దత్త దీర్ఘ చతురస్రములో ఐ' ను 'ఖండించగా మిగిలిన (m - ఐ) పొడవును రెండు సమభాగములు చేసి బొమ్మలో చూపిన విధముగా చేర్చవలెను. గీతలున్న మూలను పూరించగా నొక చతురస్ర మేర్పడును. దానిని కోరిన చతురస్రమునకు సమానముగా మరొక విధమున తగ్గించవలెను. ఈ నిర్మాణము ననుసరించి, mn={m---"}' -(;")' 2 √(mn)' = ("+")" - ("=")*;m=p*,n=q* m ప్రతి జేపించిన tp® qf+('غ')'-("‡º")అగును = ఇది పైన వ్రాసిన (1) ని పోలియున్నది. ఇట్టి సమీకర ణము మీద నాధారపడు కొన్ని లంబకోణ త్రిభుజము లను ఆవ స్తంబుడు సాధించెను. (ఆ. శు. V3-7) అవి (1) 33+4×=5° దీని ననుసరించి (3+3-3)+(4+4-3)* = (5+5-3)* (3+3.4)³+(4+4·4)*=(5+5.4)³ ఇవికూడ అంబకోణ త్రిభుజము లగును. (2) 5*+12×= 13' దీని ననుసరించి (5+52) + (12+12-2)³ = (13+13-2)* ఇదికూడ లంబకోణ త్రిభుజ మగును. ఈ విధముగా తెలిసిన లంబకోణ త్రిభుజమునుండి భుజ పరిమాణములను మార్చుచు ఇతర లంబకోణ త్రిభుజము లను సాధించెను. వెనుక చెప్పబడిన సమాన చతురస్రము అనేకములను ఒకటిగాచేయు కాత్యాయనుని పద్ధతికూడ ఇట్టి సమీకరణమునే యిచ్చును. దీనినే బ్రహ్మగుప్తుడు బ్రహ్మస్ఫుట సిద్ధాంతము (XII. 33) లో m-na, 2man, m+ఐ వంటి రూపములో లంబకోణ త్రిభుజము యొక్క భుజముల సంబంధమును చెప్పెను. శుల్బశాస్త్రములో దీని ననుసరించి చెప్పబడిన The science of Sulba by Bibhuti Bhushan Datta-Calcutta. P. 167.
- (/m)=(=77)'-(27)
దీనినే భుజముల సంబంధములో 2pq, p'+ q', pl - qs గా వ్రాసిన లంబకోణ త్రిభుజమున కుపయోగించును. 795 లంబకోణ త్రిభుజములు పై నుదాహరించిన రెండు రకములే కాన్పించును. తరువాత బ్రహ్మగుప్తుడు, మహావీరుడు, భాస్కరాచార్యుడు మొదలగువారు మరికొన్ని లంబకోణ త్రిభుజములను చెప్పిరి.
శుల్బకర్తలకు రేఖాగణితము, బీజగణితము తెలిసినను వారు వాటిని సోపపత్తికముగా సూత్రీకరింపకపోయిరి. వా రుపయోగించిన నిర్మాణములను మనము నవీన గణితముతో ఉపపక్తీకరించుకొనవలసి వచ్చేను. ఉపపత్తి కుపకరించు సిద్ధాంతములను వారేమియు చెప్ప లేదన వచ్చును. దానికితోడు వంటి సాంకేతిక సంజ్ఞలను కూడ వారు వాడలేదు. అందుచే వారి సూత్రములు గణితమున కంతగా తోడ్పడకపోయెను.
జ్యోతిషము (Astronomy) : నక్షత్రవిద్య ప్రత్యేక విద్యగా చెప్పబడెను. గ్రహములసంఖ్య, గమనము, నక్షత్రములు, రాశివిభాగము, అయనములు, ఋతువులు మొదలగు ప్రాథమిక విషయములే గాక గ్రహణములు, అధికమాసములు మొదలగువాని వివరములుకూడ వేదములలో కలవు. ఋ. సం. V. 40. 5–9 ఋక్కులలో అత్రిమహామునికి సూర్యగ్రహణమును గూర్చిన విషయము 'పూర్తిగా తెలియుననియు, వారి సంతతికికూడ పూర్తిగా తెలియుననియు ఉన్నది. అధికమాసమునుగూర్చి ఋ. సం. I. 25, 8 లో కలదు. వేదాంగ జ్యోతిషమునుబట్టి 1830 దినములలో సూర్యుడు ఆకాశవీధిని 5 చుట్లును, చంద్రుడు 67 చుట్లును తిరుగుదురు. 5 సంవత్సరములు గల ఒక యుగములో ఈ 67 చుట్లు నాక్షత్రమానము లనబడును. ఇట్టి మాసమునకు 27 29/67దినములు. కాని సావనమాసములు 5 సంవత్సరములలో 62 మాత్రమే ఉండును. సావనమాసమునకు దినములు 29½. ప్రతి 5 సం. లకు రెండు అధికమాసములు వచ్చును. అట్లే ప్రతి 62 దినములకు ఒక తిథి లోపించును. ఈవిధముగా 5 సంవత్సరముల కాలములో సూర్యచంద్రుల గమనమునుగూర్చిన విషయములు వేదాంగ జ్యోతిషమందు చెప్పబడెను. ఖగోళమునకు సంబంధించిన సూక్ష్మగణిత మేమియు దానియందు లేదనవచ్చును. పై చెప్పిన విషయములుకూడ స్థూలముగనే యుండుననియు, అవి అన్ని కాలములకు తగినట్టి పద్ధతులలో లేవనియు లోకమాన్య బాలగంగాధరతిలక్ తన వ్యాఖ్యానములో వ్రాసెను. అగ్రంథము నేటి సిద్ధాంతముల కేమియు ఉపయుక్తముగా లేదు. కేవలము యజ్ఞ యాగాదులు కాలనిర్ణయమునకే ఉపయోగించును.
భూమి గుండ్రముగా, నుండుననియు అది గాలిలో నిరాధారముగా సూర్యునిశక్తిచే నున్నదనియు (ఋ. iv. 53. 3; i. 33. 8) కొందరి వ్యాఖ్యాతల సమ్మతము. సూర్యు డుదయించుట కాని అస్తమించుట కాని లేక కొంతభాగమునకు రాత్రి, కొంతభాగమునకు పగలు ఏర్పరచుచు తిరుగుచుండును అని ఐతరేయ బ్రాహ్మణము (iii. 44) ను బట్టి తెలియును.
- సంజ్ఞావివరణము
- తై. సం—తైత్తిరీయసంహిత
- ఋ. సం——ఋగ్వేద సంహిత
- ఆ. శు—ఆపస్తంబ శుల్బ సూత్రములు.
- కా. శు.—కాత్యాయన శుల్బ సూత్రములు.
- శత.బ్రా——శతపథ బ్రాహ్మణము.
- బో. శు—బోధాయనశుల్బ సూత్రములు,
పు. ప. శా
ఆర్షభూగోళము :- భూగోళస్వరూపము :- భూమి సూర్యచంద్రులవలె ఆకాశములో నున్నది. భూమి మిగుల పెద్దదగుటవలన బల్లపరపుగా గనబడును. మరియు దీని మీది జనులందరును, తాము పైనున్నటులును, కొందరు క్రిందనున్నటులును తలంతురు. ఆకసమునకు మధ్యనున్న గోళమునకు క్రిందుమీదులేమి? (భూమి విశాలము. జనులో అల్పకాయులు). అది ఎటు చూచినను చదునుగనే కన్పించును. మరియు ఆకసము భూమినంటినట్లు కన బడును. కాని యిది వెలగపండువలె గోళాకారము. ఈ గోళమునడుమ మేరువు దండాకారముగ దక్షిణోత్తరముల వెలికుబికినది. దీని ఉత్తరాగ్రము పేరు సుమేరువు. దక్షిణాగ్రము పేరు కుమేరువు. ఉత్తర మేరువునకు పైగా ఆకాశము నందు ఉత్తర ధ్రువతారయు, దక్షిణ మేరువునకు పైగా ఆకాశమునందు దక్షిణ ధ్రువతారము, గలవు.
యామ్యగోళము - సౌమ్యగోళము :- ఉత్తరాయణ దక్షిణాయ నారంభములందు సూర్యుడు సూటిగా