రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/5. జంట సంఖ్యలు

వికీసోర్స్ నుండి
ఇక్కడికి గెంతు: మార్గసూచీ, వెతుకు

5. జంట సంఖ్యలు (Complex Number)

ఇప్పుడు మరొక రకం సంఖ్యల అవసరం ఎలా వస్తుందో తెలుసుకుందాం. నిజ (వాస్తవ) రేఖ మీద గుర్తు పెట్టగలిగే సంఖ్యలని నిజ (వాస్తవ) సంఖ్యలు అంటారు. నిజ రేఖ మీద ఒక చోట ఒక చుక్క పెట్టి అక్కడ 0 వేసి, అక్కడనుండి, కొలబద్ద సహాయంతో 1, 2, 3, ..... అనుకుంటూ ఓపిక ఉన్నంత సేపు కుడిపక్కకి జరుగుతూ చుక్కలు పెట్టుకుంటూ పోవచ్చు. సున్న నుండి ఎడం పక్కకి జరుగుతూ -1, -2, -3,..... అనుకుంటూ కూడ చుక్కలు పెట్టగలం. అలాగే ½, 2/3, అనుకుంటూ మనకి తోచిన నిష్ప సంఖ్యల (rational numbers) ఉనికిని గుర్తు పెట్టవచ్చు. నిష్పత్తి రూపంలో రాయడానికి కుదరని √2 వంటి అనిష్ప సంఖ్యలని (irrational numbers), π, e, మొదలైన లోకోత్తర సంఖ్యలని (transcendental numbers) ని కూడ ఈ నిజ రేఖ మీద గుర్తించవచ్చు.

5.1 కల్పన సంఖ్యలు (Imaginary Numbers)

కాని కొన్ని సందర్భాలలో – ప్రత్యేకించి సర్వసాధారణంగా ఎదురయ్యే వర్గ సమీకరణాలని పరిష్కరించే సందర్భాలలో కూడ - ఋణ సంఖ్యలకి వర్గమూలం తియ్యవలసిన అవసరం వస్తూ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి x2 +2x + 2 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు (roots) లేదా శూన్యస్థానాలు (zeros) లెక్క కట్టేటప్పుడు (√-4) అనే గణిత ప్రక్రియ (అంటే, ఋణ 4 కి వర్గమూలం తియ్యడం) చెయ్యవలసిన అవసరం వస్తుంది. ఇంతకీ (√-4) అంటే ఏమిటి? అనగా, ఏ రెండు సర్వసమానమైన సంఖ్యలని గుణిస్తే ఫలితం (- 4) అవుతుంది? ఇది అసంభవమైన పని, ఎందుకంటే రెండు సర్వసమానమైన సంఖ్యలని (రెండూ ధన అయినా, రెండూ ఋణ అయినా) వాటిని గుణిస్తే వచ్చే సమాధానం ఎల్లప్పుడు ధన సంఖ్యే అవుతుంది కదా. అంటే ఋణ సంఖ్యకి వర్గమూలం తియ్యడం అనే పని అసంభవం. కాని ఇలా ఋణ సంఖ్యకి వర్గమూలం తియ్యవలసిన పని తరచు ఎదురవుతూ ఉంటుంది. కాని నిజ రేఖ మీద తారసపడే సంఖ్యలలో ఈ రకం లక్షణం ఉన్న సంఖ్యలు లేవు. లేదా, ఈ రకం సంఖ్యలకి నిజ రేఖ మీద చోటు లేదు. పూర్వం సంకలనం, వ్యవకలనం, గుణకారం, భాగారం చేసినప్పుడు ఎదురయిన సంవృతం (closure) లాంటి పరిస్థితి కాదు ఇది. అంతకంటె విషమమైనది.

ఈ పరిస్థితిని ఎదుర్కోడానికి మనకి కొత్త జాతి సంఖ్యలు కావాలి. వాటికి ఏ లక్షణం ఉండాలి? అన్ని విధాలా సర్వసమానంగా ఉన్న రెండింటిని తీసుకుని గుణిస్తే ఋణ సంఖ్య రావాలి. అదీ మన గొంతేలమ్మ కోరిక. ఎలా ఈ కోరిక తీర్చడం?

5.2 జంట సంఖ్యలు (Complex Numbers)

ఇక్కడ ఉపమానానికి ఒక కట్టు కథ చెబుతాను. పూర్వం ఒక రైతు ఉండేవాడు. అతనికి సత్యం అనే మగ పిల్లాడు పుట్టేడు. అతను ఆ రైతుకి చేదోడు, వాదోడుగా ఉంటున్నాడు. సత్యం పెద్దయ్యాక ఇల్లు బోసిగా కనిపించడం మొదలు పెట్టింది. ఇంట్లో పిల్లలుంటే బాగుంటుంది కదా అని కొడుకుకి పెళ్లి చేసేడు. కోడలు కల్పన కాపురానికి వచ్చింది. మరో ఇంట పెరిగిన పిల్ల కదా; ఆమె ధోరణే వేరు. కొడుకు “ఎడ్డెం” అంటే కోడలు “తెడ్డెం” అనేది. పిల్లని ఇంట్లోంచి పొమ్మందామా అంటే ముసలాడికి మనవలు కావాలి. కనుక ఆ ముసలాడు కొడుకుకీ కోడలికీ మధ్య ఒక ఒప్పందం కుదిర్చేడు. ఇంట్లో ఏ నిర్ణయం చెయ్యవలసి వచ్చినా కొడుకు సత్యం సూచించిన దిశలో కాకుండా, కోడలు కల్పన సూచించిన దిశలో కాకుండా, ఇద్దరి మాటా చెల్లుతూన్నట్లు అనిపించేలా, మధ్యేమార్గం అవలంబించడం మొదలు పెట్టేరు. అంటే, ఇటుపైన ఏకాభిప్రాయానికి బదులు "జంటాభిప్రాయం" అమలులోకి వచ్చింది.

పైన చేసుకున్న ఒప్పందాన్ని ఒక బొమ్మ రూపంలో చిత్రించుకుందాం. కొడుకు సత్యం ఇష్టాఇష్టాలన్నిటిని ఒక గీత మీద చుక్కలుగా ఊహించుకుందాం. ఇది "సత్య రేఖ." కోడలు ధోరణే వేరు కనుక ఆవిడ ఇష్టాఇష్టాలు ఈ సత్య రేఖ మీద కనబడవు, ఇమడవు. అందుకని ఆమె కోసం మరొక గీత గీద్దాం. దానికి మరొక పేరు పెట్టాలి కదా? దానికి “కల్పన రేఖ” అని పేరు పెడదాం. కొడుకు ఇష్టాఇష్టాలన్నిటిని సత్య రేఖ మీద చుక్కలుగా ఊహించుకున్నట్లే కోడలి ఇష్టాఇష్టాలన్నిటిని “కల్పన రేఖ” మీద చుక్కలుగా ఊహించుకుందాం. ఇప్పుడు ఇంట్లో ఏ నిర్ణయం చెయ్యవలసి వచ్చినా కొడుకు, కోడలు అభిప్రాయాలు వెలిబుచ్చుతారు. కొడుకు అభిప్రాయాన్ని (3) అందాం. కోడలి అభిప్రాయాన్ని (4) అందాం. ఇప్పుడు "జంట అభిప్రాయం" కావాలంటే సత్య రేఖ మీద, కుడి వైపు 3 అడుగులు వేసి, కల్పన రేఖ మీద 4 అడుగులు ఎగువకి వెళ్లాలి. ఇదే విధంగా జంట అభిప్రాయం (-2, 5) అంటే సత్య రేఖ మీద వెనక్కి రెండడుగులు వేసి, కల్పన రేఖ మీద ఎగువకి 5 అడుగులు వెయ్యాలి. అదీ నియమం.

[[దస్త్రం:|464px|page=31]]
బొమ్మ 5.1 సత్య రేఖ (x ), కల్పన రేఖ (y), జంట అభిప్రాయాలు (x, y)

చూసేరా! నిజ “రేఖ” మీద కుడి వైపు, ఎడమ వైపు మాత్రమే ప్రయాణం సాధ్యం. ఇప్పుడు మనం సృష్టించిన కల్పన “తలం” మీద తూర్పు, పడమర, ఉత్తర, దక్షిణ దిశలలోనే కాకుండా లెక్క పెట్టలేనన్ని దిశలలో ప్రయాణం చెయ్యవచ్చు. ఏకాకిగా బతికిన సత్యానికి రెండే రెండు దిశలు శరణ్యం అయితే ఏకాకిగా బతికిన రోజుల్లో కల్పనకి కూడా రెండే దిశలు శరణ్యం అయాయి. ఇప్పుడో? పెళ్లయిన తరువాత వారికి దొరికిన జంట అవకాశాలు అనంతం. కనుక వారిరువురు కలసి నిర్మించుకున్న ఈ జంట తలం, ఈ కల్పన తలం, వారి ఊహా స్వర్గమే. తన ఊహకి మించిన స్వర్గాన్ని చవి చూస్తోంది కనుక కల్పన తన పేరు మీదుగా ఉన్న కల్పన రేఖని "ఊహా రేఖ" అని కూడ పిలుస్తూ ఉంటుంది.

మన ఉపమానం పూర్తి అయింది. ఇప్పుడు నిజ రేఖ నిజ సంఖ్యలకి స్థావరాలుగా వాడదాం. నిజ రేఖ మీద ఇమడని √−1, √−2, వంటి అసాధారణ సంఖ్యలకి ఊహా రేఖ మీద స్థావరాలు కల్పిద్దాం. రాత సౌలభ్యం కొరకు √−1= i అనిన్ని, √−2 = 2i అనిన్నీ అనుకుంటూ కల్పనా రేఖ మీద స్థావరాలని సూచిద్దాం. ఈ అసాధారణ సంఖ్యలని, కల్పన గౌరవార్థం, కల్పన సంఖ్యలు, లేదా ఊహా సంఖ్యలు (imaginary numbers) అని అందాం. ఈ రెండింటిని కలిపి "జంట సంఖ్యలు" (complex numbers) అందాం. ఈ జంట సంఖ్యలలో ఏవి సత్యానివో, ఏవి కల్పనవో అనుమానం లేకుండా చెప్పడానికి కల్పన రేఖ మీద సంఖ్యలన్నిటి ముందు i అనే అక్షరం చేర్చుదాం. ఈ పద్ధతి ప్రకారం (3, - 4i) అంటే 3 అడుగులు నిజ రేఖ మీద కుడి వైపు వేసి, అక్కడ నుండి 4 అడుగులు కల్పన రేఖ మీద దిగువకి వెళ్లాలి అని అర్థం.

మన దురదృష్టం కొద్దీ ఇంగ్లీషులో "ఇమేజినరీ," "కాంప్లెక్స్" వంటి క్లిష్టమైన పదాలు వాడి మనకి భయం పుట్టించేరు కాని "నిజ సంఖ్యలు" లో ఎంత వాస్తవం ఉందో "కల్పన సంఖ్యలు" లోనూ అంతే వాస్తవం ఉంది. సత్యం ఎంత వాస్తవమో, కల్పన అంతే వాస్తవం. మనవాళ్లు ఇంగ్లీషులో ఉన్న complex numbers ని యథాతథంగా అనువదించి వీటిని “సంకీర్ణ సంఖ్యలు” అనమన్నారు. వీటిలో సంకీర్ణత ఏముంది? నిజానికి నిజ (వాస్తవ) సంఖ్యలలో “వాస్తవత్వం” ఏమీ లేదు, కల్పన (imaginary) సంఖ్యలలో “కల్పన” ఏమీ లేదు. ఇంగ్లీషు వాడుకలో complex, real, imaginary అనేవి పాతుకుపోయాయి. వీటికి సమానార్థకమైన తెలుగు మాటలు తయారు చేసుకునేటప్పుడు వాటి స్వరూప, స్వభావాలకి అనుగుణంగా పేర్లు పెట్టుకుందాం.

ఇదీ జంట బీజగణితానికి నాంది. ఆడదాని ప్రాపు లేకుండా మగాడు దమ్మిడీకి కూడ ఎలా చెల్లడో అదే విధంగా కల్పన అక్షం సహాయం లేకుండా కేవలం నిజ అక్షాన్ని పట్టుకుని వేల్లాడుతూ కూర్చుంటే చెయ్యవలసిన పనులు చెయ్యడం కష్టం.

ఇప్పుడు మనం నిర్మించిన జంట తలం (complex plane) ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం. (బొమ్మ 5.2 చూడండి). ఎడమ నుండి కుడికి వెళ్లే గీతని నిజ అక్షం(real axis) అందాం. దీనికి లంబ దిశలో అడుగునుండి పైకి వెళ్లే గీతని కల్పన అక్షం (imaginary axis) అందాం. మనకి ఎదురయ్యే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు కాని, అనిష్ప సంఖ్యలు కాని అయితే వాటికి ఈ నిజ అక్షం మీద ఎక్కడో ఒక చోట స్థావరం దొరుకుతుంది. మనకి ఎదురయ్యే “జంట సంఖ్య” (complex number) z అయితే దాని స్థావరం “జంట తలం” లో ఎక్కడో ఒక చోట ఉంటుంది. అది ఎక్కడ ఉంటుంది? జంట సంఖ్య z లో సత్యం పాలు x, కల్పన పాలు y అయినప్పుడు z = (x , i y ) లేదా z = x + i y రాస్తారు.

[[దస్త్రం:|464px|page=33]]
బొమ్మ 5.2 జంట తలంలో ఒక జంట సంఖ్య z ని సూచించడం

5.3 రామానుజన్, జంట సంఖ్యలు

రామానుజన్ ఇంగ్లండు వెళ్లక పూర్వం ఆయనకి ఈ జంట సంఖ్యల ఉనికి తెలిసి ఉన్నట్లు దాఖలాలు లేవు; ఋష్యశృంగుడు లా అయన నిజ రేఖ మీద కనబడే నిజ సంఖ్యల మధ్యనే బతికేడు. జీటా ప్రమేయం విలువ కట్టినప్పుడు కూడ ఆయన ఋణ నిజ రేఖ మీద విలువలనే లెక్కలోకి తీసుకున్నట్లు కనిపిస్తుంది. అంటే రామానుజన్ “ఆయిలర్ జీటా ప్రమేయాన్ని” మళ్లా సొంతంగా కనిపెట్టి నిజ రేఖ మీద దాని లక్షణాలని గుర్తించేరు. కాని ఇదే ప్రమేయాన్ని రీమాన్ జంట తలానికి అనువర్తింపచేసేరన్న విషయం రామానుజన్ కి తెలియక పోవడం మన దురదృష్టం. ఈ కారణం వల్ల రామానుజన్ ఇండియాలో ఉండగా ప్రధాన సంఖ్యల మీద చేసిన పరిశోధన అంతా ఒక విధంగా “కంచి గరుడ సేవే” అయిపోయింది.