రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/4. అనంతాలు

వికీసోర్స్ నుండి
ఇక్కడికి గెంతు: మార్గసూచీ, వెతుకు

4. అనంతాలు (Infinities)

నిజ సంఖ్యలన్నింటిని ఒక సరళ రేఖ మీద బిందువులుగా ఊహించుకోవచ్చని తెలుసుకున్నాం కదా! అనగా, ఒక సరళరేఖ మీద, ఒక వరుస క్రమంలో అమర్చగలిగిన సంఖ్యలని నిజ సంఖ్యలు అని నిర్వచించవచ్చు. అప్పుడు ఈ సరళరేఖని ‘నిజ రేఖ’ (real line) అని పిలుస్తారు. ఈ నిజ రేఖ స్వరూప స్వభావాలు మరొక సారి పునశ్చరణ చేసుకుందాం. ఒక కాగితం మీద తిన్నని గీత గీసి, దాని మధ్యలో ఒక చుక్క పెట్టి, దానిని ‘సున్న’ అని పిలవండి. ఆ సున్నకి, కుడి పక్కన, ఒక అంగుళం దూరంలో మరొక చుక్క పెట్టి దానిని ‘ఒకటి’ అని పిలవండి. అలా నిర్విరామంగా అంగుళమేసి వ్యవధులలో 2, 3, 4,…. అనుకుంటూ చుక్కలు పెట్టండి. ఇదే విధంగా సున్నకి ఎడమ పక్కన -1, -2, -3, అనుకుంటూ వెళ్లండి. ఇప్పుడు ఇదే రేఖ మీద భిన్నాలన్నిటినీ (నిష్ప సంఖ్యలని) కూడ వేసి గుర్తించవచ్చు కాని, వీటన్నిటికీ కాగితం మీద చూపటం కష్టం కనుక మచ్చుకి బొమ్మలో కొన్నే చూపిస్తారు. ఇదే రేఖ మీద అనిష్ప సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉంటాయో ఉరమరగా చూపించవచ్చు. ఇక్కడ గమనించవలసినది ఏమిటంటే గీత మీద నిజ సంఖ్యలన్నిటికీ స్థావరం ఉంది. దీనినే తిరకాసుగా చెప్పాలంటే నిజ రేఖ మీద ఉండే బిందువులన్నీ ఏదో ఒక నిజ సంఖ్యకి స్థావరం.

ఈ నిజ రేఖ మీద ఉన్న అనంతమైనన్ని (infinite) బిందువులలో అతి కొద్ది బిందువులే సహజ సంఖ్యలకి స్థావరాలు. వాటినే మనం “1, 2, 3,…,” అని పిలుస్తున్నాం. ఇక్కడ 3 తరువాత మూడు చుక్కలు పెట్టడంలో అర్థం ఏమిటంటే ఈ సహజ సంఖ్యలు అవిరామంగా అలా వస్తూనే ఉంటాయని చెప్పడానికి! అంటే, ఆ గీత మీద ఎంత దూరం ప్రయాణం చేసినా సహజ సంఖ్యలు, అంతు లేకుండా, అలా వస్తూనే ఉంటాయి. ఈ "అంతు లేని తనం" అనే భావాన్ని అనంతం (infinity) అంటారు. అంటే, అనంతం అనేది కేవలం ఒక భావం. అది 1, 2, 3, లాంటి అంకె కాదు. అనంతం అంకె కాదు కనుక దానితో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగారాలు చెయ్యలేము. గణితంలో శూన్యం అన్న భావానికి '0' అనే గుర్తు ఉన్నట్లే, ఈ 'అనంతం' అనే భావానికి ∞(పదుక్కోబెట్టిన 8) అనే గుర్తుని వాడతారు. కాని 0 (సున్న) కీ ∞ (అనంతానికి) ఒక ముఖ్యమైన తేడా ఉంది. అన్ని అంకెలలాంటిదే “సున్న” అనే అంకె; దానితో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు చెయ్యవచ్చు. సున్నతో భాగారం చెయ్యడానికి వీలు పడదు. ఇదే ధోరణిలో, ∞ (అనంతం) తో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగారాలు చెయ్యడం కుదరదు; ఎందుకంటే ∞ ఒక సంఖ్య కాదు. కాని శాస్త్రంలో సున్న ఎంత తరచుగా వస్తుందో అనంతం కూడ అంత తరచుగా వస్తూ ఉంటుంది. కనుక అనంతంతో "వేగడం" నేర్చుకోవాలి, లేకపోతే రోజు గడవదు.

4.1 అనంతంతో ప్రయోగాలు

అనంతం గురించి అర్థం చేసుకోడానికి కొన్ని ప్రయోగాలు చేసి చూద్దాం. ముందుగా సహజ సంఖ్యలతో 1, 2, 3, ..., అనుకుంటూ ఒక పొడుగాటి జాబితా తయారు చేద్దాం. ఇదే విధంగా పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని 0, -1, +1, -2, +2, -3, +3, ...., అనుకుంటూ మరొక పొడుగాటి జాబితా తయారు చేద్దాం. ఇప్పుడు ఈ రెండు జాబితాలలో ఏ జాబితాలో ఎక్కువ సంఖ్యలు ఉన్నాయి? సామాన్యులకి రెండవ జాబితాలో ఎక్కువ ఉన్నట్లు అనిపిస్తుంది కాని అది కేవలం ఒక భ్రమ అని నిరూపించడం తేలిక. బొమ్మ 4.1 లో చూపినట్లు పూర్ణ సంఖ్యలని పై వరుసలోను, సహజ సంఖ్యలని కింది వరుసలోను అమర్చి, ఈ రెండు వరసల మధ్య "ముఖా-ముఖీ సంబంధం" (one-one correspondence) చూపిస్తూ రెండు తలల బాణపు గుర్తులు వేద్దాం. దీనిని బట్టి పై జాబితాలో ఎన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయో కింది జాబితాలోనూ అన్నే సంఖ్యలు ఉన్నాయని స్పష్టం అవుతోంది కదా. కనుక సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో పూర్ణ సంఖ్యలూ అన్నే ఉన్నాయి. ఇది నమ్మ శక్యం కాని నిజాలలో ఒకటి!

[[దస్త్రం:|464px|page=25]]
బొమ్మ 4.1 సహజ సంఖ్యలు (Naturals) ఎన్ని ఉన్నాయో పూర్ణ సంఖ్యలు (Integers) కూడ అన్నే ఉన్నాయని రుజువు చేసే చిత్రం.
ఇప్పుడు మరొక ప్రయోగం చేద్దాం. సహజ సంఖ్యకీ, సహజ సంఖ్యకీ మధ్య ఉన్న ఖాళీలో భిన్నాలు ఉన్నాయి కదా. ఉదాహరణకి 1 కి, 2 కి మధ్య 1/2, 1/3, ¼,… వగైరాలు ఉన్నాయి. అంతే కాదు; 2/3, 2/4, 2/5, వగైరాలు కూడ ఉన్నాయి. అంతే కాదు; ¾, 3/5, వగైరాలు కూడ ఉన్నాయి. ఈ “వగైరాలని” లెక్క వేసుకుంటూ పోతే అవి కూడ అనంతంగా ఉంటాయి.

అంటే ఏమిటన్నమాట? నిజ రేఖ మీద ఏ రెండు పూర్ణ సంఖ్యల మధ్య చూసినా అనంతమైనన్ని భిన్నాలు ఉన్నాయి. అనంతమైనన్ని పూర్ణసంఖ్యల మధ్య ఉన్న అనంతమైనన్ని ఖాళీ స్థలాలలో, ప్రతి దాంట్లోను, అనంతమైనన్ని భిన్నాలు ఉన్నాయి. అటువంటప్పుడు మొత్తం భిన్నాలు ఎన్ని? “అనంతమైనన్ని అనంతాల మొత్తం” కదా! అంటే సహజ సంఖ్యల “అనంతం” కంటె భిన్న సంఖ్యల “అనంత అనంతం” బాగా పెద్దదయి ఉండాలి. అవునా? అబ్బే! అది అలా కాదు; సహజ సంఖ్యలు ఎంత అనంతంగా ఉన్నాయో భిన్న సంఖ్యలు కూడ అంతే అనంతగా ఉన్నాయి అని కేంటర్ (Georg Cantor, 1845 – 1918) ఉటంకించేరు. మొదట్లో ఎవ్వరూ నమ్మలేదు. దీనిని ఋజువు చేసి చూపిస్తాను.

[[దస్త్రం:|464px|page=26]]
బొమ్మ 4.2 భిన్నాలు (నిష్ప సంఖ్యలు) అనంతంగా ఉన్నాయని రుజువు చెయ్యడం

మనకి తెలిసిన భిన్నాలని ఒక క్రమ పద్ధతిలో అముర్చుదాం (బొమ్మ 4.2 చూడండి). ఈ బొమ్మని జాగ్రత్తగా రెండు నిమిషాలు అధ్యయనం చెయ్యండి. ఏక-లవ భిన్నాలు అన్నీ మొదటి అరుసలో ఉన్నాయి. ద్వి-లవ భిన్నాలు అన్నీ రెండవ అరుసలో ఉన్నాయి. అలా అనంతమైనన్ని అరుసలు ఒక దాని కింద మరొకటి ఉన్నాయి. ప్రతి అరుస అంతు లేకుండా అలా కుడి పక్కకి పోతూనే ఉంది. ఈ పట్టికలో మనం ఊహించగలిగే భిన్నాలు అన్నీ ఉన్నాయి. ఒక్క రవ ఆలోచించి చూసుకోండి. ఇప్పుడు, ఇందాకటి లాగే, సహజ సంఖ్యలని ఒక వరుసలో అమర్చి, వాటికి ఎదురెదురుగా వచ్చేలా ఈ పట్టికలోని భిన్నాలని అమర్చగలమేమో చూద్దాం. బొమ్మ 4.2 లోని మొదటి అరుస (row)తో సహజ సంఖ్యలని అమర్చడానికి ప్రయత్నిస్తే ఈ పని జన్మకి తెమలదు. ఎందువల్ల? రెండు శ్రేణులలోనూ అనంతమైనన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయి కనుక. ఈ లెక్కని బొమ్మ 4.2 లోని రెండవ అరుసకి అవకాశమే రాదు. ఈ చిక్కు నుండి బయట పడడానికి ఒక మార్గం ఉంది. బొమ్మ 4.2 లో చూపించిన వ్యూహంలోని సంఖ్యలన్నిటిని ఒకే వరుస క్రమంలో వచ్చేలా అమర్చుదాం. ఈ వరుస క్రమం బొమ్మలో వాలు బాణం గీతలతో చూపించేను. ఈ పద్ధతిని సహజ సంఖ్యలనీ, నిష్ప సంఖ్యలనీ ముఖా-ముఖీ సంబంధం వచ్చేలా అమర్చవచ్చు. అంటే సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో నిష్ప సంఖ్యలు అన్నే ఉన్నాయి! సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో సరి సంఖ్యలు కూడ అన్నే ఉన్నాయి!!

ఇదే ధోరణిలో మరొక్క ప్రయోగం చేద్దాం. సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో అనిష్ప సంఖ్యలు కూడ అన్నే ఉన్నాయా? సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో నిజ సంఖ్యలు కూడ అన్నే ఉన్నాయా? ఈ సమస్యలకి ఋజువులు చూపిస్తూ కూర్చుంటే మనం ఇక్కడ నుండి బయట పడేది ఎప్పుడు? అందుకని టూకీగా సమాధానం చెప్పెస్తాను. నిజ సంఖ్యలు కూడ అనంతమే కాని “నిజ సంఖ్యల అనంతం” మనకి ఇంతవరకు పరిచయమైన “సహజ సంఖ్యల అనంతం” కంటె పెద్దది. ఈ తేడాని గుర్తిస్తూ “సహజ సంఖ్యలు అనంతమే అయినా ఒక జాబితాలా రాయడానికి లొంగుతాయి” అంటారు. ఈ భావాన్నే ఇంగ్లీషులో “కౌంటబుల్” (countable) అంటారు కానీ “లిస్టబుల్” (listable) అనడం సమంజసమేమో అనిపిస్తుంది. అయితే లెక్క పెట్టడానికి లొంగని (uncountable or unlistable) అనంతాలు కూడ ఉంటాయా? “నిజ సంఖ్యలు ఎన్ని?” అని అడిగితే “అవి లెక్కపెట్టడానికి లొంగనన్ని” అని చెప్పాలి. ఇలా అనంతాలతో చెలగాటాలాడిన కేంటరు భారతదేశంలో పుట్టి ఉండవలసింది. మన వేదాంత తత్త్వం ఒక మోతాదు పడి ఉంటే మనిషికి ఈ అనంతాల చెలగాటంలో పిచ్చి ఎక్కి ఉండేది కాదు. ఉపనిషత్తులలో కనిపించే ఈ దిగువ శ్లోకంలో

పూర్ణమదః పూర్ణమిదం పూర్ణాత్పూర్ణముదచ్యతే
పూర్ణస్య పూర్ణ మాదాయ పూర్ణమేవావసిష్యతి

“పూర్ణ” అంటే అనంతం అని అన్వయించుకుంటే, దీని అర్థం “అది పూర్ణం. ఇది కూడా పూర్ణం. ఈ పూర్ణం నుండి ఆ పూర్ణం వచ్చింది. పూర్ణం నుండి పూర్ణాన్ని తీసేస్తే మిగిలేది పూర్ణం.” ఇదే కేంటరు అనంతానికి ఇచ్చిన లక్షణం.

రామానుజన్ స్నేహితులలో ఈ అనంతం కూడ ఉంది. ఈ అనంతం గురించి రామానుజన్ కి తెలిసినంత మరెవ్వరికీ తెలియదంటారు! కాని అనంతాల శ్రేణిని గురించి కేంటరు కనిపెట్టిన విషయాలు రామానుజన్ కి ఇండియాలో ఉన్న రోజులలో తెలిసి ఉండకపోవచ్చు.

ఆధారాలు:

  1. Conway, J. H. and Guy, R. K. , The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York, 1996
  2. Robert Kanigel, THE MAN WHO KNEW INFINITY: A Life of the Genius Ramanujan, Scribner’s hardcover, 1991