పుట:Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf/97

వికీసోర్స్ నుండి
ఈ పుట అచ్చుదిద్దబడ్డది

చెయ్యవలసి వస్తే (అంటే, దశాంశ బిందువు తరువాత వచ్చే అంకెల పొడుగుని పెంచవలసి వస్తే) లెక్కని మొదటి నుండీ తిరిగి చెయ్యక్కర లేకుండా కొత్త పదం కలిపినప్పుడల్లా ఖచ్చితత్త్వం 6 ద్వింకముల (bits) ప్రాప్తికి పెరుగుతూ ఉంటుంది.

ఈ గొడవ అంతా అర్థం అవాలంటే ఒక్క అడుగు వెనక్కి వేసి బొమ్మ 10.2 లో చూపించిన సూత్రాన్ని అర్థం చేసుకుందుకి ప్రయత్నిద్దాం. బొమ్మ 10.2 లో ఉన్న మొదటి పదాన్ని పరిభాషలో ద్విపద గుణాంకం (binomial coefficient) అంటారు. దీని విలువ ఉరమరగా లెక్క కట్టడానికి ఈ దిగువ బొమ్మ 10.3 లో చూపిన స్టర్లింగ్ సూత్రం (Stirling formula) ఉపయోగిస్తారు:

బొమ్మ 11.3 స్టర్లింగ్ సూత్రంతో ద్విపద గుణాంకం విలువ ఉరమరగా

ఈ విలువని బొమ్మ 11.2 లో చూపించిన అనంత శ్రేణిలో ప్రతిక్షేపించి, బీజగణితం ఉపయోగించి సూక్ష్మీకరిస్తే (గణితంతో కుస్తీ పట్టే అలవాటు ఉంటే అది ఇక్కడ ఉపయోగిస్తుంది) అనంత శ్రేణిలోని ప్రతి పదమూ ఒక భిన్నం రూపంలో కనబడుతుంది. (ఈ ప్రయత్నం కాగితం, కలం తీసుకుని చేసి చూడండి.) అప్పుడు ఆ భిన్నం లోని లవం (numerator) 26n వలె ఉంటుంది, హారం (denominator) 2(12n + 4) వలె ఉంటుంది. ఈ లెక్కంతా చేసేస్తే ఈ భిన్నం రూపం ఈ దిగువ చూపినట్లు ఉంటుంది.

26n 2 (12n + 4) = 2 -(6n + 4)

అనగా n విలువ పెరుగుతున్న కొద్దీ ఈ పదం విలువ తరుగుతూ ఉంటుంది. అంటే శ్రేణి విలువ పెరిగిపోకుండా అభిసరణ చెందుతుంది. జరుగుతున్న ప్రక్రియ ఇంకా సుబోధకం కాడానికి ఈ శ్రేణిలోని మొదటి మూడు పదాలని లెక్క కట్టి బొమ్మ 11.4 లో చూపుతున్నాను.