10.4 రీమాన్ ప్రమేయం యొక్క శూన్యస్థానాలు (Zeros of Riemann Function)
మిలియను డాలర్లు గెలుచుకోడానికి మీ ఋజువు బాణసంచాలతో మిలమిల మెరవాలంటే “చంద్రశాఖాన్యాయం” లా దారి చూపెడతాను, కాని ఆ దూరం మీతో ప్రయాణించే ఓపిక, స్థోమత నాలో లేవు. కాసుకోండి!
ఏదైనా ఒక ప్రమేయాన్ని, f(x) ని, ఇచ్చి దాని శూన్యస్థానాలు లేదా శూన్యాలు (zeros) కనుక్కోమంటే మనం చెయ్యవలసిందల్లా f(x) = 0 అని రాసి, x ఏ విలువ తీసుకుంటే ఈ సమీకరణం చెల్లుతుందో లెక్క కట్టాలి. ఆ x విలువలు ఆ సమీకరణానికి శూన్యస్థానాలు అవుతాయి. ఉదాహరణకి f(x) = x – 2 అయితే x = 2 అయినప్పుడు f(x) = 0 చెల్లుతుంది. కనుక x = 2 అనేది f(x) = x – 2 = 0 అనే ప్రమేయానికి శూన్యస్థానం అవుతుంది. మరొక ఉదాహరణగా, f(x) = x3 + 2x2 -13 x + 10 అయితే x = 1 అయినా, x = 2 అయినా, x = -5 అయినా f(x) = 0 చెల్లుతుంది. కనుక x = 1, x = 2, x = -5 అనేవి f(x) = x3 + 2x2 -13 x + 10 = 0 అనే ప్రమేయానికి శూన్యస్థానాలు అవుతాయి. ఈ శూన్యస్థానాలనే శూన్యాలు అనిన్నీ మూలాలు (roots) అనిన్నీ కూడ అంటారు.
ఇప్పుడు మనకి కావలసినది రీమాన్ నిర్వచించిన జీటా ప్రమేయం యొక్క శూన్యస్థానాలు. జీటా ప్రమేయానికి s = - 2, - 4, - 6, - 8,..... వగైరాలన్నీ శూన్యస్థానాలని మనం ఓపికగా లెక్క కట్టి నిర్ణయించవచ్చు. అనగా, ζ(s = - 2) = ζ(s = - 4) = ζ(s = - 6) = … = 0. ఇవి మన ప్రస్తుత అవసరాలకి పనికిరావు. కనుక వీటికి “పనికిమాలిన” (trivial) శూన్యస్థానాలు అని పేరు పెట్టి పక్కన పెడదాం. మిగిలినవన్నీ “పనికొచ్చే” శూన్యస్థానాలు. మనకి తెలుసున్నంతవరకు, ఈ పనికొచ్చే శూన్యస్థానాలు అన్నీ s = ½ + b i అనే రేఖ మీదనే ఉన్నాయి. ఈ రేఖ జంట తలంలో కల్పన అక్షానికి సమాంతరంగా, నిజ రేఖ మీద 1/2 దూరంలో గీసిన గీత (బొమ్మ 10.5 చూడండి). రీమాన్ వ్యక్తపరచిన శిష్టాభిప్రాయం ఏమిటంటే “పనికొచ్చే” శూన్యస్థానాలన్నీ s = ½ + bi అనే ఈ కీలక
