పుట:Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf/84

వికీసోర్స్ నుండి
ఈ పుట అచ్చుదిద్దబడ్డది

ఇక్కడ x విలువ 1 కంటె తక్కువ అయి ఉన్నంత సేపూ ఈ ఫలితం పని చేస్తుంది.

ఇప్పుడు అవకలనం (differentiate) చెయ్యడానికి వాడే సూత్రాన్ని ఇక్కడ చెబుతాను. ఇది ఈ రోజుల్లో ఉన్నత పాఠశాలలోనే చెబుతున్నారు.

d/dx (xn) = n x(n-1)

ఇప్పుడు పైన చూపిన అనంత శ్రేణిలోని అంశాలని, ఒకటీ, ఒకటీ అవకలించుకుంటూ పోదాం. ముందుగా స్థిరాంకమైన 1 ని అవకలించగా 0 వస్తుంది. x అన్నా x1 అన్నా ఒక్కటే కనుక అవకలన సూత్రాన్ని బట్టి x ని అవకలిస్తే 1 వస్తుంది. అదే విధంగా x2 ని అవకలిస్తే 2x వస్తుంది. (ఈ రకం గణితం లెక్కలతో ఏ మాత్రం పరిచయం ఉన్నా తెలుస్తుంది.) ఈ అవకలన సూత్రాన్ని కుడి పక్క కూడా ప్రయోగించాలి. అది ప్రయోగించే విధానం మీద ఒక కప్పదాటు వేస్తే అవకలనం పూర్తి అయిన తరువాత మనకి మిగిలిన సమీకరణం ఈ దిగువ చూపిన విధంగా ఉంటుంది.

0 + 1 + 2 x + 3 x2 + ....= 1/((1 - x )(1-x ))

ఇప్పుడు x = -1 అనుకుంటే

1 – 2 + 3 – 4 + 5 - +.... = ¼

ఈ ఫలితం తరువాత ఉపయోగపడుతుంది. ప్రస్తుతానికి పక్కన పెడదాం.

ఇప్పుడు “జీటా ఫంక్షన్” (zeta function) న్ని రంగంలోకి దింపుదాం:

ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ......