S – S2 = 4 (1 + 2 + 3 +....) = 4S
అనగా 3S = - S2.
పైన చేసిన లెక్క ప్రకారం S2 = ¼ కనుక S = - (1/12)
అనగా 1 + 2 + 3 + 4 + ....= - (1/12)
ఇదంతా కిట్టించినట్లు కనబడుతోందా? ఈ ఫలితం నమ్మడానికి వీలుగా లేదు కదూ? ధన సంఖ్యలని అలా కలుపుకుంటూ పోతే మొత్తం ధన సంఖ్యే రావాలి. అలా జరగలేదు. పూర్ణాంకాలని అలా కలుపుకుంటూ పోతే ఫలితం పూర్ణాంకమే అవాలి. ఇక్కడ భిన్నాంకం వచ్చింది. అసలు ఈ అంకెలని అనంతం వరకు అలా కలుపుకుంటూ పోతే మొత్తం విలువ పాపం పెరిగినట్లు పెరిగి, పెరిగి, చివరికి “పేలిపోవాలి.” అలా జరగలేదు. కాని మనం చేసిన పద్ధతిలో ఎక్కడా లోపం లేదు.
ఇదే లెక్కని మరికొంచెం పకడ్బందీగా (అంటే కలన గణితం (calculus) ఉపయోగించి) చూపెడతాను. ఈ ఋజువు మహా మేధావి ఆయిలర్ (Euler) చలవ. దీనిని అర్థం చేసుకుందుకి అవకలనం (differentiation) తో కొద్ది పరిచయం ఉంటే చాలు. ఇక్కడ 10.3.2 లో చూపిస్తున్న ప్రత్యామ్నాయ ఋజువు చదవకుండా పరవాలేదు.
10.3.2 జీటా ప్రమేయం విలువ: దిట్టమైన పద్ధతి
ఈ దిగువ చూపిన అనంత గుణోత్తర శ్రేణి (geometric series) మొత్తంతో మొదలు పెడదాం. ఈ ఫలితం లెక్కలు నేర్చిన ప్రతి విద్యార్థికీ తెలిసే ఉంటుంది. ఈ విషయం ఇంతకు పూర్వమే తెలిసి ఉండకపోతే మరేమీ ప్రమాదం లేదు; నేను చెబుతూన్నది నిజమే అని నమ్మి ముందుకి కదలండి.
1 + x + x2 + x3 + ...... = 1/(1- x ), |x| < 1