7.రామానుజన్ నుండి భార్గవ దాకా
దారిన పోయే దానయ్యని ఆపి ‘అయిన్ స్టయిన్ ఏమిటి చేసేడయ్యా?’ అని అడిగితే మూడొంతులు సరైన సమాధానమే రావచ్చు. కానీ, రామానుజన్ ఏమిటి చేసేడంటే - ఒక్క టేక్సీ కథని మినహాయించి - సామాన్యులు ఎవ్వరూ సరి అయిన సమాధానం చెప్పలేరు.
రామానుజన్ అంకెలతో చేసిన అనేకమైన గారడీలలో ఒక దానిని నలుగురికీ అర్ధం అయే రీతిలో చెప్పటానికి ప్రయత్నిస్తాను. ముందస్తుగా 1, 4, 9, 16, 25 36, మొదలైన సంఖ్యలతో కథ మొదలు పెడతాను. ఏ ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్ధి అయినా సరే ఈ సంఖ్యలలో బాణీని ఇట్టే పసిగట్ట గలదు. వీటిని వర్గు సంఖ్యలు (square numbers) అందాం. ఎందుకంటే ఇవి 1, 2, 3, 4, 5, 6, మొదలైన సంఖ్యలని వర్గీకరించగా (అంటే, ఒక సంఖ్యని దాని తోటే గుణించటం) వచ్చిన సంఖ్యలు కనుక. వీటినే కొన్ని సందర్భాలలో చదరపు సంఖ్యలు అని కూడా అనటం కద్దు. ఈ వర్గు సంఖ్యలకి ఉన్న ప్రత్యేకత ఏమిటో చిన్న ఉదాహరణ ద్వారా వివరిస్తాను. మీకు తోచిన పూర్ణ సంఖ్య (integer) ని తీసుకొండి. ఈ పూర్ణ సంఖ్యని కొన్ని వర్గు సంఖ్యల మొత్తంగా రాయొచ్చు. ఉదాహరణకి: 10 = 1 + 1 + 4 + 4. మరొక ఉదాహరణ: 30 = 1 + 4 + 9 + 16.
సా. శ. 1770 లో ఫ్రాంసు దేశపు గణిత శాస్త్రవేత్త జోసెఫ్ లుయీ లగ్రాంజ్ ఒక సిద్ధాంతాన్ని ప్రవచించి ఋజువు చేశారు: ప్రతి ధన పూర్ణ సంఖ్య (positive integer) తనంత తానుగా ఒక వర్గు సంఖ్య అయినా అయి ఉండాలి, లేదా రెండు కాని, మూడు కాని, నాలుగు కాని వర్గు సంఖ్యల మొత్తమయినా అయి ఉండాలి. ఎట్టి పరిస్థితులలోనూ నాలుగు వర్గుల మొత్తం (x2 + y2 + z2 + t2) మించి అవసరం ఉండదు. (ఇక్కడ x2 అంటే x ని రెండు సార్లు వేసి గుణించటం అని అర్థం.)
లగ్రాంజ్ ప్రవచించిన వ్యక్తీకరణం (expression) లో ఉన్న (x2 + y2 + z2 + t2) వంటి గణిత రూపాన్ని వర్గు రూపం (quadratic form) అంటారు. ఈ వర్గు రూపాల స్వభావం అర్ధం అయిన
